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208 7 Gewöhnliche Differentialgleichungen⎡⎤G 1 −I 0 00 G 2 −I. ..(7.3.5.5) DF(s) =. .. . .. . .. 0,⎢⎣ 0. ⎥.. Gm−1 −I ⎦A 0 0 Bwobei die n × n-Matrizen A, B, G k , k = 1, ..., m − 1, selbst wiederFunktionalmatrizen sind:(7.3.5.6)G k :≡ D sk F k (s) ≡ D sk y(x k+1 ; x k , s k ), k = 1, 2,...,m − 1,B :≡ D sm F m (s) ≡ D sm r(s 1 , s m ),A :≡ D s1 F m (s) ≡ D s1 r(s 1 , s m ).Wie im einfachen Schießverfahren ersetzt man in der Praxis zweckmäßigdie Differentialquotienten in den Matrizen A, B, G k durch Differenzenquotienten,die man durch Lösen weiterer (m−1)n Anfangswertproblemeberechnen kann (für jede Matrix G 1 , ..., G m−1 je n Anfangswertprobleme).Die Gleichungen (7.3.5.4) sind mit den Abkürzungen⎡ ⎤∆s 1( )⎢ ⎥(7.3.5.7) ⎣ . ⎦ := s (i+1) − s (i) , F k := F k s (i)k, s(i) k+1∆s mmit folgendem linearen Gleichungssystem äquivalent(7.3.5.8)G 1 ∆s 1 − ∆s 2 =−F 1 ,G 2 ∆s 2 − ∆s 3 =−F 2 ,.G m−1 ∆s m−1 − ∆s m =−F m−1 ,A∆s 1 + B∆s m =−F m .Ausgehend von der ersten Gleichung kann man alle ∆s k sukzessive durch∆s 1 ausdrücken. Man findet so(7.3.5.9)∆s 2 = G 1 ∆s 1 + F 1 ,.m−1∑∆s m = G m−1 G m−2 ...G 1 ∆s 1 +j=1und daraus schließlich mit Hilfe der letzten Gleichung( ∏j−1)G m−l F m− j ,l=1