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29. SeiÜbungsaufgaben zu Kapitel 7 263b) Ersetzt man g(x) durch g(x) + ∆g(x) mit |∆g(x)|≤ε für alle x, so gehtdie Lösung y(x) über in y(x) + ∆y(x). Man beweise|∆y(x)|≤ ε x(1 − x) für 0 ≤ x ≤ 1.2c) Das in 7.4 beschriebene Differnzenverfahren liefert als Lösungsvektor u =[u 1 ,...,u n ] T des Gleichungssystems [s. (7.4.4)]undAu = kNäherungswerte u i für y(x i ), x i = i/(n + 1) und i = 1, 2, ..., n. Ersetztman k durch k + ∆k mit |∆k i |≤ε, i = 1, 2, ..., n, so geht u über inu + ∆u.Man zeige|∆u i |≤ ε 2 x i(1 − x i ), i = 1, 2,...,n.D :={u | u(0) = 0, u ∈ C 2 [0, 1]}∫ 1F(u) := { 2 1 (u′ (x)) 2 + f (x, u(x))}dx + p(u(1))0mit u ∈ D, f uu (x, u) ≥ 0, p ′′ (u) ≥ 0.Man beweise: Ist y(x) Lösung vonso folgtund umgekehrt.y ′′ − f u (x, y) = 0, y(0) = 0, y ′ (1) + p ′ (y(1)) = 0,F(y)