Springer-Lehrbuch - tiera.ru

332 8 Iterationsverfahren für große lineare Gleichungssysteme3) Berechne h k+1,k :=‖w‖ 2 ,und damit den Vektor ¯h k = [h 1,k ,...,h k+1,k ] T .4) Berechne ˜r k := Ω k−1 Ω k−2 ···Ω k−l ¯h k ,die Rotationsparameter c k , s k mittels (8.7.2.16),γ k , ¯γ k+1 mittels (8.7.2.18)und den Vektor [s. (8.7.2.17)]5) Berechne⎡¯r k = ⎢⎣r 1,k.r k,k0p k := 1r k,k(vk −⎤6) Setze x k := x k−1 + γ k p k .⎥⎦ := Ω k ˜r k .∑k−1i=max{1,k−l}r i,k p i).7) Falls |¯γ k+1 |≤ε, stop.Andernfallssetze v k+1 := w/h k+1,k , k := k + 1 und gehe zu 1).Für symmetrische, aber indefinite Matrizen A = A T ist das Arnoldi-Verfahrenmit dem Verfahren von Lanczos (6.5.3.1) identisch: Man kann wie in Abschnitt6.5.3 zeigen, daß dann alle Skalarprodukte h i,k = v T i Av k = 0für 1 ≤ i ≤ k − 2verschwinden und daßh k,k+1 = h k+1,k ,k = 1, 2,...n,gilt. In diesem Fall sind also die Matrizen⎡⎤h 1,1 h 1,2 0. hH k := ⎢ 2,1 .. . ..⎥⎣ . .. . .. ⎦ hk−1,k0 h k,k−1 h k,ksymmetrische Tridiagonalmatrizen. Es liegt also hier von Haus aus, ohne einekünstliche Verkürzung, die Situation l = 2 des QGMRES-Verfahrens vor. DasQGMRES-Verfahren vereinfacht sich dann zu dem SYMMLQ-Verfahren von Paigeand Saunders (1975), das hier aber nicht näher dargestellt werden soll: DasQGMRES-Verfahrens ist als Verallgemeinerung dieses Verfahrens anzusehen.Es ist ebenfalls möglich, die Konvergenz des GMRES-Verfahrens durchVorkonditionierungstechniken ähnlich wie beim cg-Verfahren (8.7.1.10) zu