Springer-Lehrbuch - tiera.ru

Übungsaufgaben zu Kapitel 6 103[ ] 2 ε22. Man führe einen QR-Schritt mit der Matrix A = aus,ε 1a) ohne Shift,b) mit Shift k = 1, d.h. nach Strategie (6.6.5.7a).23. Effekt eines QR-Schrittes mit Shift bei Tridiagonalmatrizen:⎡⎤δ 1 γ 2 0. A =γ 2 δ 2 ..⎢⎣ . .. . ⎥ .. γn ⎦0 γ n δ nγ i ≠ 0,⎡⎤0= B.⎢γ n⎥⎣⎦0 ··· γ n δ ni = 2,...,n.Mit A werde ein QR-Schritt mit dem Shiftparameter k = δ n ausgeführt,⎡δ 1 ′ γ ′ ⎤2 0A − δ n I = QR → RQ+ δ n I =: A ′ γ= 2 ′ δ ′ . ..2.⎢ .⎣ .. . .. γ ′ ⎥ n ⎦0 γ n ′ δ n′Man zeige: Wenn d := min i |λ i (B) − δ n | > 0 ist, gilt|γ ′ n |≤|γ n| 3d 2 , |δ′ n − δ n|≤ |γ n| 2d .Hinweis: Q = Produkt geeigneter Givens-Rotationen, Anwendung von Aufg.21.Beispiel: Was erhält man für⎡⎤5 1A = ⎢⎣1 5 11 5 11 5 0.10.1 1⎥⎦ ?24. Ist die Shiftstrategie (6.6.5.7a) beim QR-Verfahren für reelle Tridiagonalmatrizendes Typs ⎡⎤δ γ 2 0. γ 2 δ ..⎢⎣ . .. . ⎥ .. γn ⎦0 γ n δsinnvoll? Man beantworte diese Frage mit Hilfe von Aufg. 6.c) und der folgendenTatsache: Ist A reell symmetrisch, tridiagonal und sind alle Diagonalelemente0, so gilt dies auch nach einem QR-Schritt.