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238 7 Gewöhnliche Differentialgleichungenweil u(a) = u(b) = 0für u ∈ D L gilt. Aus Symmetriegründen folgt ebenso(7.5.8) (L(u), v) =und damit die Behauptung.∫ ba[p(x)u ′ (x)v ′ (x) + q(x)u(x)v(x)]dxDie rechte Seite von (7.5.8) ist nicht nur für u, v ∈ D L definiert. Seidazu D := {u ∈ K 1 (a, b)|u(a) = u(b) = 0} die Menge aller auf [a, b]absolutstetigen Funktionen u mit u(a) = u(b) = 0, für die u ′ auf [a, b] (fastüberall existiert und) noch quadratisch integrierbar ist [s. Def. (2.4.1.3)]. Insbesonderegehören alle stückweise stetig differenzierbaren Funktionen, diedie Randbedingungen erfüllen, zu D. D ist wieder ein reeller Vektorraummit D ⊇ D L . Durch die rechte Seite von (7.5.8) wird auf D die symmetrischeBilinearform(7.5.9) [u,v]:=∫ ba[p(x)u ′ (x)v ′ (x) + q(x)u(x)v(x)]dxdefiniert, die für u, v ∈ D L mit (u, L(v)) übereinstimmt. Wie eben zeigtman für y ∈ D L , u ∈ D durch partielle Integration(7.5.10) (u, L(y)) = [u, y].Bezüglich des durch (7.5.6) auf D L eingeführten Skalarproduktes ist L einpositiv definiter Operator in folgendem Sinn:(7.5.11) Satz: Unter den Voraussetzungen (7.5.2) ist[u, u] = (u, L(u)) > 0 für alle u ≠ 0, u ∈ D L .Es gilt sogar die Abschätzung⊓⊔(7.5.12) γ‖u‖ 2 ∞ ≤ [u, u] ≤ Γ ‖u′ ‖ 2 ∞für alle u ∈ Dmit der Norm ‖u‖ ∞ := sup a≤x≤b |u(x)| und den Konstantenγ := p 0b − a , Γ :=‖p‖ ∞(b − a) +‖q‖ ∞ (b − a) 3 .Beweis: Wegen γ>0 genügt es, (7.5.12) zu zeigen. Für u ∈ D gilt wegenu(a) = 0u(x) =∫ xau ′ (ξ)dξ für x ∈ [a, b].Die Schwarzsche Ungleichung liefert die Abschätzung