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368 8 Iterationsverfahren für große lineare GleichungssystemeDies liefert ein System von linearen Gleichungen(8.10.2) Az = bfür den Vektorz := [z 11 , z 21 ,...,z N1 ,...,z 1N , z 2N ,...,z NN ] Tder N 2 Unbekannten z ij , i, j = 1, ..., N, die u ij := u(x i , y j ) approximieren.Die Matrix A hängt von der Wahl von δ und γ ab. Für δ = γ = 0 istsie (bis auf den Faktor h 2 ) mit der positiv definiten Matrix A (8.4.5) desModellproblems identisch. Für γ = 0 und alle δ ist A noch symmetrisch,wird aber für genügend kleine negative Werte von δ indefinit. Schließlichist A für alle γ ≠ 0 nichtsymmetrisch.In einer ersten Gruppe von Tests vergleichen wir die Verfahren vonJacobi, Gauß-Seidel, die Relaxationsmethoden, die ADI-Verfahren und dasVerfahren von Buneman. Wir verwenden dazu die linearen Gleichungen(8.10.2), die zu dem Modellproblem gehören, weil für dieses Problem dieKonvergenzeigenschaften der Verfahren genau bekannt sind. Außerdem sinddie ADI-Verfahren und das Verfahren von Buneman auf die Behandlungdes Modellproblems (und einfacher Varianten davon) zugeschnitten. Dielinearen Gleichungen (8.10.2) zum Modellproblem werden auch im Testdes konjugierten Gradientenverfahrens verwandt, weil das cg-Verfahren diepositive Definitheit von A voraussetzt.In einer zweiten Gruppe von Tests benutzen wir zum Vergleich derübrigen Krylovraum-Methoden (GMRES, QMR, Bi-CGSTAB) die linearenGleichungen (8.10.2) mit einer nichtsymmetrischen Matrix A (γ ≠ 0und δ ≪ 0); diese Verfahren dienen ja zur Lösung solcher allgemeinererProbleme.Für die erste Gruppe von Tests, die zu dem Modellproblem gehören,verwenden wir als rechte Seite f von (8.10.1) die Funktionf (x, y) = 2π 2 sin π x sin πy.Die exakte Lösung u(x, y) von (8.10.1) ist dannu(x, y) := sin π x sin πyund als rechte Seite b von (8.10.2) erhält manwobeib := 2π 2 ūū := [u 11 , u 21 ,...,u N1 ,...,u 1N ,...,u NN ] T , u ij = u(x i , y j ).