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168 7 Gewöhnliche Differentialgleichungen7.2.14 Extrapolationsverfahren zur Lösung des AnfangswertproblemsWie in Abschnitt 3.5 ausgeführt, legen asymptotische Entwicklungen dieAnwendung von Extrapolationsverfahren nahe. Besonders effektive Extrapolationsverfahrenerhält man für Diskretisierungsverfahren mit asymptotischenEntwicklungen, in denen nur gerade h-Potenzen auftreten. Man beachte,daß das für die Mittelpunktsregel bzw. für die modifizierte Mittelpunktsregelder Fall ist [s. (7.2.12.8), (7.2.12.9) bzw. (7.2.12.10),(7.2.12.13)].In der Praxis verwendet man insbesondere die Graggsche FunktionS(x; h) (7.2.12.10), deren Definition wegen ihrer Wichtigkeit wiederholtsei:Gegeben sei das Tripel ( f, x 0 , y 0 ), eine reelle Zahl H und eine natürlicheZahl n > 0. Man definiere ¯x := x 0 + H, h := H/n. Zu dem Anfangswertproblemy ′ = f (x, y), y(x 0 ) = y 0 ,mit der exakten Lösung y(x) wird der Näherungswert S(¯x; h) für y(¯x) auffolgende Weise berechnet:(7.2.14.1)η 0 : = y 0 ,η 1 : = η 0 + hf(x 0 ,η 0 ), x 1 := x 0 + h,für j = 1, 2, ..., n − 1:η j+1 : = η j−1 + 2hf(x j ,η j ), x j+1 := x j + h,S(¯x; h) : = 1 2 [η n + η n−1 + hf(x n ,η n )].Bei Extrapolationsverfahren zur Approximation von y(¯x) wählt man dann(s. 3.4, 3.5) eine FolgeF ={n 0 , n 1 , n 2 ,...}, 0 < n 0 < n 1 < n 2 < ···,von natürlichen Zahlen und berechnet für h i := H/n i die Werte S(¯x; h i ),i = 0, 1, ... . Wegen des Oszilliationsterms (−1) (x−x 0)/h in (7.2.12.13)darf F jedoch nur gerade oder nur ungerade Zahlen enthalten. Gewöhnlichnimmt man die Folge(7.2.14.2) F ={2, 4, 6, 8, 12, 16,...}, n i := 2 n i−2 für i ≥ 3.Wie in Abschnitt 3.5 berechnet man dann ausgehend von den S(¯x; h i )in der nullten Spalte mit Hilfe von Interpolationsformeln ein Tableau vonweiteren Werten T ik , und zwar Schrägzeile für Schrägzeile: