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144 7 Gewöhnliche Differentialgleichungenfür alle x ∈ [a, b], alle f ∈ F 1 (a, b) und alle Funktionen ε(z; h), für die esein ρ(h) gibt mit(7.2.7.9)|ε(z; h)|≤ρ(h) für alle z ∈ R h ,lim ρ(h) = 0.h→07.2.8 Ein BeispielDie Resultate von Abschnitt 7.2.2, insbesondere Satz (7.2.2.3), legen dieVermutung nahe, daß auch Mehrschrittverfahren umso besser konvergieren,je höher die Ordnung p des lokalen Diskretisierungsfehlers ist [s. (7.2.7.4)].Daß dies falsch ist, soll das folgende Beispiel zeigen, in dem auch eine Methodezur Konstruktion von Mehrschrittverfahren möglichst hoher Ordnungbeschrieben wird.Wir wollen ein lineares 2-Schrittverfahren des Typs (7.2.7.1), also einVerfahren der folgenden Form konstruierenη j+2 + a 1 η j+1 + a 0 η j = h[b 1 f (x j+1 ,η j+1 ) + b 0 f (x j ,η j )].Die Konstanten a 0 , a 1 , b 0 , b 1 wollen wir so bestimmen, daß ein Verfahrenmöglichst hoher Ordnung entsteht. Ist z ′ (t) = f (t, z(t)), z(x) = y, so giltfür den lokalen Diskretisierungsfehler τ(x, y; h) (7.2.7.3)hτ(x, y; h) = z(x + 2h) + a 1 z(x + h) + a 0 z(x) − h[b 1 z ′ (x + h) + b 0 z ′ (x)].Wir entwickeln die rechte Seite in eine Taylorreihe nach hhτ(x, y; h) = z(x)[1 + a 1 + a 0 ] + hz ′ (x)[2 + a 1 − b 1 − b 0 ]+ h 2 z ′′ (x)[2 + 1 2 a 1 − b 1 ] + h 3 z ′′′ (x)[ 4 3 + 1 6 a 1 − 1 2 b 1] + O(h 4 )und bestimmen die Koeffizienten a 0 , a 1 , b 0 , b 1 so, daß möglichst vieleh-Potenzen verschwinden. Dies führt zu den Gleichungen1+ a 1 +a 0 = 0,2+ a 1 −b 1 −b 0 = 0,2+ 1 2 a 1 −b 1 = 0,43 + 1 6 a 1 − 1 2 b 1 = 0,mit der Lösung a 1 = 4, a 0 =−5, b 1 = 4, b 0 = 2, die zu dem Verfahrenη j+2 + 4η j+1 − 5η j = h[4 f (x j+1 ,η j+1 ) + 2 f (x j ,η j )]der Ordnung 3 [wegen hτ(x, y; h) = O(h 4 ),d.h.τ(x, y; h) = O(h 3 )]führen. Löst man mit dieser Methode das Anfangswertproblem