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274 8 Iterationsverfahren für große lineare Gleichungssystemeeinfach berechnen kann. Im allgemeinen (falls A nicht zu schlecht konditioniertist) konvergiert das Verfahren außerordentlich rasch. Bereits x (1)oder x (2) stimmen mit der exakten Lösung x bis auf Maschinengenauigkeitüberein. Da aus diesem Grunde bei der Berechnung der Residuenr (i) = b − Ax (i) sehr starke Auslöschung auftritt, ist es für das Funktionierendes Verfahrens äußerst wichtig, daß die Berechnung von r (i) in doppelterGenauigkeit ausgeführt wird. Für die anschließende Berechnung von z, u (i)und x (i+1) = x (i) + u (i) aus (8.1.11) und (8.1.10) ist dagegen keine doppeltgenaue Arithmetik nötig.Programme und Rechenbeispiele für die Nachiteration findet man inWilkinson, Reinsch (1971) bzw. Forsythe, Moler (1967).8.2 KonvergenzsätzeDie Iterationsverfahren (8.1.3), (8.1.4) liefern zu jedem Startvektor x (0) eineFolge {x (i) } i=0,1,... von Vektoren. Wir nennen nun das betreffende Verfahrenkonvergent, falls für alle Startvektoren x (0) diese Folge {x (i) } i=0,1,... gegendie exakte Lösung x = A −1 b konvergiert. Mit ρ(C) bezeichnen wir imfolgenden wieder den Spektralradius [s. 6.9] einer Matrix C. Damit könnenwir folgendes Konvergenzkriterium angeben:(8.2.1) Satz: 1) Das Verfahren (8.1.3) ist genau dann konvergent, wennρ(I − B −1 A)