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6.5 Reduktion von Matrizen auf einfachere Gestalt 27Nach Abschnitt 4.7 gibt es eine (n − i)-reihige Householdermatrix ˜T i mit(6.5.1.2) ˜T i a i = k · e 1 ∈ C n−i .˜T i hat die Gestalt ˜T i = I − βuu H , u ∈ C n−i , und ist gegeben durchσ :=‖a i ‖ 2 =n∑√ |α ji | 2⊕ j=i+1(6.5.1.3){ 1/(σ(σ +|αi+1,i |)) für σ ≠ 0β =0 sonstk :=−σ · e iϕ falls α i+1,i = e iϕ |α i+1,i |⎡⎤e iϕ (σ +|α i+1,i |)α i+2,i⎥u := ⎢⎣.α ni⎥⎦ .Für die unitäre n × n-Matrix T i , die wie (6.5.1.1) partitioniert ist,⎡ ⎤}I 0 0T i :=⎢ 0 1 0⎥⎣ ⎦0 0 ˜T ii−1gilt dann offensichtlich T Hi= T −1i= T i sowie wegen (6.5.1.2)T −1iA i−1 T i = T i A i−1 T i =⎡⎤J i−1 c 0c⎢H δ i aiH˜T i⎥⎣⎦0 ˜T i a i˜T i à i−1 ˜T i