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7.2 Anfangswertprobleme 127Asymptotische Entwicklungen der Form (7.2.3.3) sind aus zwei Gründenwichtig. Man kann sie einmal dazu benutzen, den globalen Diskretisierungsfehlere(x; h) abzuschätzen: Das Verfahren p-ter Ordnung habe z. B. dieEntwicklung (7.2.3.3). Es gilt danne(x; h) = η(x; h) − y(x) = e p (x)h p + O(h p+1 ).Hat man zur Schrittweite h den Näherungswert η(x; h) gefunden, so berechneman anschließend mit einer anderen Schrittweite, etwa mit h/2,für dasselbe x den neuen Näherungswert η(x; h/2). Für kleines h [unde p (x) ≠ 0] ist dann in erster Näherung(7.2.3.4) η(x; h) − y(x) . = e p (x)h p ,((7.2.3.5) η x; h )− y(x) . ( h) p.= e p (x)22Die Subtraktion dieser Gleichungen ergibt(η(x; h) − η x; h ( .= h) p(2ep (x)2) p − 1),2( h) p. η(x; h) − η(x; h/2)e p (x) = ,22 p − 1und man erhält durch Einsetzen in (7.2.3.5)((7.2.3.6) η x; h )− y(x) . η(x; h) − η(x; h/2)= .22 p − 1Für das klassische Runge-Kutta-Verfahren (7.2.1.14) ist z. B. p = 4,man bekommt so die häufig benutzte Formel(η x; h )− y(x) . η(x; h) − η(x; h/2)= .215Die andere, wichtigere Bedeutung asymptotischer Entwicklungen liegtdarin, daß sie die Anwendung von Extrapolationsverfahren [s. 3.4] rechtfertigen.Wir werden später [s.(7.2.12.7) f.] ein Verfahren kennenlernen,dessen asymptotische Entwicklung für η(x; h) nur gerade Potenzen von henthält, das daher für Extrapolationsalgorithmen besser geeignet ist [s. 3.4]als das Euler-Verfahren. Wir verschieben deshalb die Beschreibung vonExtrapolationsverfahren bis zum Abschnitt 7.2.14.