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7.2 Anfangswertprobleme 1417.2.7 Allgemeine MehrschrittverfahrenAlle in 7.2.6 besprochenen Mehrschrittverfahren und alle Einschrittverfahrenaus Abschnitt 7.2.1 haben die folgende Form:(7.2.7.1)η j+r + a r−1 η j+r−1 +···+a 0 η j = hF(x j ; η j+r ,η j+r−1 ,...,η j ; h; f ).Allgemein nennt man solche Verfahren r-Schrittverfahren. Bei den in 7.2.6betrachteten Methoden hängt die Funktion F darüber hinaus linear von fin der folgenden Weise ab:F(x j ; η j+r ,η j+r−1 ,...,η j ; h; f ) ≡ b r f (x j+r ,η j+r ) +···+b 0 f (x j ,η j ).Dabei sind die b i , i = 0, ..., r, gewisse Konstanten. Man spricht dannvon linearen r-Schrittverfahren; diese Verfahren werden in 7.2.11 weiterbehandelt.Beim Verfahren von Adams-Bashforth (7.2.6.5) (r = q + 1) ist z. B.a r−1 ≡ a q =−1, a q−1 =···=a 0 = 0, b r ≡ b q+1 = 0,∫ 1 q∏ s + lb q−i = β qi =0 −i + l ds, i = 0, 1,...,q.l=0l≠iZu je r Startwerten η 0 , ..., η r−1 wird durch (7.2.7.1) eine Folge η j ,j ≥ 0, definiert. Als Startwerte η i wählt man möglichst gute Näherungswertefür die exakte Lösung y i = y(x i ) von (7.2.1.1) an den Stellen x i = x 0 + ih,i = 0, 1, ..., r − 1. Solche Näherungswerte erhält man z. B. mittels guterEinschrittverfahren. Mitε i := η i − y(x i ), i = 0, 1,...,r − 1,wollen wir die Fehler in den Startwerten bezeichnen. Weitere Fehler,z. B. Rundungsfehler bei der Berechnung von F, treten bei der Auswertungvon (7.2.7.1) auf. Wir wollen den Einfluß auch dieser Fehler studieren undbetrachten deshalb allgemeiner als (7.2.7.1) folgende Rekursionsformeln:η 0 := y 0 + ε 0 ,(7.2.7.2).η r−1 := y r−1 + ε r−1 ;für j = 0, 1, 2, ...:η j+r + a r−1 η j+r−1 +···+a 0 η j :=hF(x j ; η j+r ,η j+r−1 ,...,η j ; h; f ) + hε j+r .