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7.3 Randwertprobleme 195r(s (i) , y(b; s (i) )) hat man y(b; s (i) ) zu bestimmen, d. h. das Anfangswertproblem(7.3.1.7) für s = s (i) zu lösen. Zur Berechnung von DF(s (i) ) beachteman(7.3.1.10) DF(s) = D u r ( s, y(b; s) ) + D v r ( s, y(b; s) ) Z(b; s)mit den Matrizen[ ][ ]∂ri (u,v)∂ri (u,v)D u r(u,v)= , D v r(u,v)= ,∂u j ∂v j(7.3.1.11)[ ] ∂yi (b; s)Z(b; s) = D s y(b; s) =.∂σ jBei nichtlinearen Funktionen f und r wird man DF(s) nicht mittelsdieser komplizierten Formeln berechnen, sondern stattdessen durch Differenzenquotientenapproximieren: Man ersetzt DF(s) näherungsweise durchdie Matrix∆F(s) = [∆ 1 F(s),...,∆ n F(s)]mit(7.3.1.12)∆ j F(s) = F(σ 1,...,σ j + ∆σ j ,...,σ n ) − F(σ 1 ,...,σ j ,...,σ n )∆σ j.Wegen F(s) = r(s, y(b; s)) hat man zur Berechnung von ∆ j F(s) natürlichy(b; s) und y(b; s+∆σ j e j ) durch Lösung der entsprechenden Anfangswertproblemezu bestimmen.Bei linearen Randbedingungen (7.3.0.1b),r(u,v)≡ Au + Bv − c, D u r = A, D v r = B,vereinfachen sich diese Formeln etwas. Es istF(s) ≡ As + By(b; s) − c,DF(s) ≡ A + BZ(b; s).In diesem Fall hat man zur Bildung von DF(s) die Matrix[ ]∂y(b; s) ∂y(b; s)Z(b; s) = , ···,∂σ 1 ∂σ nzu bestimmen. Wie eben ersetzt man die j-te Spalte ∂y(b; s)/∂σ j vonZ(b; s) durch einen Differenzenquotienten∆ j y(b; s) := y(b; σ 1,...,σ j + ∆σ j ,...,σ n ) − y(b; σ 1 ,...,σ j ,...,σ n )∆σ j