Springer-Lehrbuch - tiera.ru

10 6 EigenwertproblemeKlasse der nichtderogatorischen Matrizen wird im nächsten Abschnitt näherstudiert.Ein weiterer wichtiger Begriff ist der des Minimalpolynoms einer MatrixA. Man versteht darunter dasjenige Polynomψ(µ) = γ 0 + γ 1 µ +···+γ m−1 µ m−1 + µ mkleinsten Grades mit der Eigenschaftψ(A) = 0.Es kann mit Hilfe der Jordanschen Normalform von A sofort angegebenwerden:(6.2.11) Satz: Sei A eine n × n-Matrix mit den (verschiedenen) Eigenwertenλ 1 , ..., λ k und der Jordanschen Normalform J (6.2.5) und seiτ i := max 1≤ j≤ρ(λi ) ν (i)j. Dann ist(6.2.12) ψ(µ) := (µ − λ 1 ) τ 1(µ − λ 2 ) τ 2...(µ− λ k ) τ kdas Minimalpolynom von A. ψ(µ) ist Teiler jedes Polynoms χ(µ) mitχ(A) = 0.Beweis: Wir zeigen zunächst, daß alle Nullstellen des Minimalpolynoms ψvon A, sofern es existiert, Eigenwerte von A sind. Ist etwa λ Nullstelle vonψ, so giltψ(µ) = (µ − λ) · g(µ)mit einem Polynom g(µ), das von kleinerem Grade als ψ ist. Es gilt dahernach Definition des Minimalpolynoms g(A) ≠ 0. Also gibt es einen Vektorz ≠ 0 mit x := g(A)z ≠ 0. Wegen ψ(A) = 0 folgt dann0 = ψ(A)z = (A − λI)g(A)z = (A − λI)x,d. h. λ ist Eigenwert von A. Sofern ein Minimalpolynom existiert, hat esalso die Gestalt ψ(µ) = (µ − λ 1 ) τ 1(µ − λ 2 ) τ2 ···(µ − λ k ) τ kmit gewissenτ i . Wir wollen nun zeigen, daß durch τ i := max j ν (i)jein Polynom mitψ(A) = 0 gegeben ist. Mit den Bezeichnungen von Satz (6.2.4) hat mannämlich A = TJT −1 und daher ψ(A) = Tψ(J)T −1 . Nun gilt aber wegender Diagonalstruktur von J,die BeziehungJ = diag(C ν(1)(λ 1 ),...,C1ν(k) (λ k )),ρ(λ k )ψ(J) = diag(ψ(C ν(1)(λ 1 )),...,ψ(C1ν(k) ))).ρ(λ k )