Springer-Lehrbuch - tiera.ru

364 8 Iterationsverfahren für große lineare GleichungssystemeA h . Mit den Abkürzungen c k := cos 2 (kh/2), s k := sin 2 (kh/2), k ′ := n − k,verifiziert man sofort durch einfaches Nachrechnen{c k z (k)(8.9.9) Ih2h z(k) h=2hfür k = 1,..., n 2 − 1,−s k ′z (k′ )2hfür k = n ,...,n − 1.2Dabei sind die z (k)2h ,1≤ k < n/2, gerade die Eigenvektoren von A 2h zu denEigenwertenλ (k)2h = 4(2h) 2 sin2 kh = 1 h 2 sin2 kh[s. (8.9.3)], so daßA −12h z(k) 2h = 1λ (k)2hEbenfalls durch Nachrechnen zeigt manz (k)2h , k = 1, 2,...,n 2 − 1.(8.9.10) I h 2h z(k) 2h = c kz (k)h− s k z (k′ )h, k = 1, 2,..., n 2 − 1.Durch Kombination dieser Resultate erhält man für k = 1,2,..., n 2 − 1I2h h A−1 2h I h2hUnter Verwendung vonλ (k)hλ (k) =2hA hz (k)h= λ (k)hI 2h h A−12h I h2hz(k) h= λ (k)hc k I2h h A−1 2h z(k) 2h= λ(k) hλ (k)2h= λ(k) hλ (k)2h4sin 2 kh/2h 2 1sin 2 kh = 4s ksin 2 kh ,h 2c k I h 2h z(k) 2hc k (c k z (k)h− s k z (k′ )h).bekommt man schließlich für k = 1, 2, ..., n 2 − 1(8.9.11) C h z (k)h= (I − I h 2h A−12h I h2hA h)z (k)hc ks k = 1 4 sin2 kh,= s k z (k)h+ s k z (k′ )h.Auf die gleiche Weise berechnet man auch die Wirkung von C h auf die„hochfrequenten“ Vektoren z (k′ )h:(8.9.12) C h z (k′ )h= c k z (k)h+ c k z (k′ )h, k = 1,..., n 2 .Wir können nun folgenden Satz zeigen: