Diseño en ingenieria mecanica de Shigley

CAPÍTULO 20 Consideraciones estadísticas 975
donde m es la pendiente y b es la intercepción en el eje y. Considere un conjunto de N puntos
de datos (x i , y i ). En general, la línea de mejor ajuste no intersecará un punto de datos. En
consecuencia, podemos escribir
y i = mx i + b + i
(b)
donde ɛ = y i − y es la desviación entre el punto de dato y la línea. La suma de los cuadrados
de las desviaciones está dada por 3
E =
2
i = (y i − mx i − b) 2 (c)
Minimizando a E, la suma de los errores cuadrados, si se espera un punto mínimo estacionario,
se requiere que ∂E/∂m = 0 y ∂E/∂b = 0. Esto produce dos ecuaciones simultáneas de la
pendiente y la intercepción en y denotadas como mˆ y bˆ, respectivamente. Resolviendo estas
ecuaciones produce
ˆm = N x i y i − x i y i
N x 2 i
− x i
2
=
x i y i − N ¯x ȳ
x 2 i
− N ¯x 2 (20-32)
ˆb =
y i −ˆm
N
x i
= y¯ −ˆm ¯x
(20-33)
Una vez que se ha establecido una pendiente y una intercepción, el siguiente punto de
interés es descubrir qué tan bien se correlacionan x y y entre sí. Si los puntos de datos se
encuentran todos dispersos sobre el plano xy, obviamente no existe correlación alguna. Sin
embargo, si todos los puntos de datos coinciden con la línea de regresión, entonces se ha logrado
una correlación perfecta. La mayoría de los datos estadísticos se encontrarán entre estos
extremos. Un coeficiente de correlación r, con el intervalo −1 ≤ r ≤ +1, se ha concebido
para responder esta pregunta. La fórmula es
r = ˆm s x
s y
(20-34)
donde s x y s y son las desviaciones estándar de la coordenadas x y las coordenadas y de los
datos, respectivamente. Si r = 0, no existe correlación; si r = ±1, se tiene una correlación
perfecta. Una r positiva o negativa indica que la línea de regresión tiene una pendiente positiva
o negativa, respectivamente.
Las desviaciones estándar de mˆ y bˆ están dadas por
donde
s ˆm =
s ˆb = s y·x
s y·x
(x i −¯x) 2 (20-35)
1
N + ¯x 2
(x i −¯x) 2 (20-36)
s y·x =
yi 2 − ˆb y i −ˆm x i y i
N − 2
(20-37)
es la desviación estándar de la dispersión de los datos de la regresión lineal.
3 Desde este punto, por economía de notación, los límites de la sumatoria de i(1, N) no se mostrarán.