Diseño en ingenieria mecanica de Shigley

CAPÍTULO 5 Fallas resultantes de carga estática 215
Figura 5-9
Teoría de energía de distorsión
(ED) de estados de
esfuerzo plano. Ésta es una
gráfica real de puntos que se
obtienen mediante la ecuación
(5-13) con σ = S y .
S y
σ B
–S y
S y
σ A
Línea de carga cortante puro (σ A
= −σ B
= τ)
–S y
ED
ECM
La ecuación (5-13) es una elipse rotada en el plano σ A , σ B , como se muestra en la figura 5-9
con σ = S y . Las líneas punteadas en la figura representan la teoría del ECM, que puede verse
como más restrictiva y, por ende, más conservadora. 4
Usando las componentes xyz del esfuerzo tridimensional, el esfuerzo von Mises puede
escribirse como
σ =
1 √
2
(σ x − σ y ) 2 +(σ y − σ z ) 2 +(σ z − σ x ) 2 + 6 τ 2 xy + τ 2 yz + τ 2 zx
1/2
(5-14)
y para el esfuerzo plano
σ = σ 2 x − σ xσ y + σ 2 y + 3τ 2 xy
1/2
(5-15)
La teoría de la energía de deformación también se denomina:
• Teoría de von Mises o von Mises-Hencky
• Teoría de la energía de cortante
• Teoría del esfuerzo cortante octaédrico
Entender el esfuerzo cortante octaédrico dará algo de luz sobre por qué el ECM es conservador.
Considere un elemento aislado en el cual los esfuerzos normales sobre cada superficie
son iguales al esfuerzo hidrostático σ prom . Existen ocho superficies simétricas a las direcciones
principales que contienen este esfuerzo. Lo anterior forma un octaedro como el que se
muestra en la figura 5-10. Los esfuerzos cortantes sobre estas superficies son iguales y se
llaman esfuerzos octaédricos cortantes (la figura 5-10 sólo tiene una de las superficies octaédricas
marcadas). A través de las transformaciones de coordenadas, el esfuerzo cortante
octaédrico está dado por 5
τ oct = 1 3 (σ 1 − σ 2 ) 2 +(σ 2 − σ 3 ) 2 +(σ 3 − σ 1 ) 2 1/2 (5-16)
4
Las ecuaciones tridimensionales de la ED y del ECM pueden graficarse en relación con los ejes tridimensionales
σ 1 , σ 2 , σ 3 . La superficie de la ED es un cilindro circular con un eje inclinado a 45° de cada eje de esfuerzo principal,
mientras que la superficie del ECM es un hexágono inscrito dentro del cilindro. Vea Arthur P. Boresi y Richard
J. Schmidt, Advanced Mechanics of Materials, 6a. ed., John Wiley & Sons, Nueva York, 2003, sección 4.4.
5 Para una derivación, vea Arthur P. Boresi, op. cit., pp. 36-37.