Diseño en ingenieria mecanica de Shigley

CAPÍTULO 20 Consideraciones estadísticas 961
La desviación estándar de la muestra, definida como la raíz cuadrada de la variancia de la
muestra, es
s x =
1
N − 1
N
i=1
(x i −¯x) 2 (20-7)
La ecuación (20-7) no es muy adecuada para usarse con una calculadora. Para este propósito,
se hace uso de la forma alternativa
s x =
N
xi 2 −
N 2
x i
i=1 i=1
N − 1
N
=
N
i=1
x 2 i
− N ¯x 2
N − 1
(20-8)
de la desviación estándar.
Debe advertirse que algunos autores definen la variancia y la desviación estándar colocando
N en lugar de N − 1 en el denominador. Para valores grandes de N, hay muy poca diferencia.
En el caso de valores pequeños, el denominador N − 1 ofrece una mejor estimación
de la variancia de la población de la cual se toma la muestra.
Las ecuaciones (20-5) a la (20-8) se aplican específicamente a la muestra de una población.
Cuando se considera una población completa, se aplican las mismas ecuaciones, pero
x¯ y s x son reemplazados por los símbolos μ x y σˆx, respectivamente. El acento circunflejo ˆ,
o “caret”, se emplea para evitar confusiones con el esfuerzo normal. Para la variancia de la
población y la desviación estándar, se utiliza la N en los denominadores en lugar de N − 1.
En ocasiones se tendrá que tratar con la desviación estándar de la resistencia de un elemento,
por lo cual se debe tener cuidado de no confundirse con la notación. Observe que se
emplea la letra mayúscula S para resistencia y la letra minúscula s para la desviación estándar
como se muestra en la leyenda del histograma de la figura 20-4.
La figura 20-4 se denomina histograma de frecuencia discreta, que da el número de ocurrencias,
o frecuencia de clase f i , dentro de un intervalo dado. Si los datos se agrupan de esta
manera, la media y la desviación estándar están dadas por
¯x = 1 N
k
i=1
f i x i (20-9)
y
s x =
k
i=1
f i x 2 i
−
k
i=1
N − 1
f i x i
2
N
=
k
i=1
f i x 2 i
− N ¯x 2
N − 1
(20-10)
Aquí, x i , f i y k son puntos medios de clase, frecuencia de ocurrencias dentro del intervalo de la
clase y número total de clases, respectivamente. También, la función de densidad acumulativa
que da la probabilidad de una ocurrencia en la marca de clase de x i o menos es
F i = f iw i
2
+
i−1
j=1
f j w j (20-11)
donde w i representa la anchura de clase en x i . En la figura 20-4a, k = 21 y la anchura de clase
es constante en w = 1 kpsi.