Diseño en ingenieria mecanica de Shigley

CAPÍTULO 7 Ejes, flechas y sus componentes 373
que pueden reescribirse como
(m 1 δ 11 − 1/ω 2 )y 1 +(m 2 δ 12 )y 2 +(m 3 δ 13 )y 3 = 0
(m 1 δ 21 )y 1 +(m 2 δ 22 − 1/ω 2 )y 2 +(m 3 δ 23 )y 3 = 0
(a)
(m 1 δ 31 )y 1 +(m 2 δ 32 )y 2 +(m 3 δ 33 − 1)ω 2 )y 3 = 0
El conjunto de ecuaciones (a) tiene tres ecuaciones simultáneas en términos de y 1 , y 2 y y 3 .
Para evitar la solución trivial y 1 = y 2 = y 3 = 0, el determinante de los coeficientes de y 1 , y 2 y
y 3 debe ser cero (problema de valor característico). Así,
(m 1 δ 11 − 1/ω 2 ) m 2 δ 12 m 3 δ 13
m 1 δ 21 (m 2 δ 22 − 1/ω 2 ) m 3 δ 23
m 1 δ 31 m 2 δ 32 (m 3 δ 33 − 1/ω 2 )
= 0 (7-26)
lo que significa que una deflexión distinta de cero sólo existe en los valores definidos de ω,
en las velocidades críticas. Expandiendo el determinante se obtiene
3
1
− (m
ω 2 1 δ 11 + m 2 δ 22 + m 3 δ 33 )
2
1
+ ···= 0
ω 2 (7-27)
Las tres raíces de la ecuación (7-27) pueden expresarse como 1/ω 1 2 , 1/ω 2
2
y 1/ω 3 2 . En consecuencia,
la ecuación (7-27) puede escribirse en la forma
1
ω − 1 2 ω1
2
1
ω − 1 2 ω2
2
1
ω − 1 2 ω3
2
= 0
o bien
3
1
− 1 ω 2 ω1
2
+ 1 ω 2 2
+ 1 ω 2 3
2
1
+ ···= 0
ω 2 (7-28)
Comparando las ecuaciones (7-27) y (7-28) se observa que
1
= m 1 δ 11 + m 2 δ 22 + m 3 δ 33 (7-29)
+ 1 ω 2 2
+ 1 ω 2 3
ω 2 1
Si sólo estuviera presente la masa m 1 , la velocidad crítica estaría dada por 1/ω 2 = m 1 δ 11 . Denote
esta velocidad crítica como ω 11 (que considera que m 1 actúa sola). Asimismo, para m 2 o
m 3 actuando solas, se definen de manera similar los términos 1/ω 2 22 = m 2 δ 22 o 1/ω 2 33 = m 3 δ 33 ,
respectivamente. Así, la ecuación (7-29) puede reescribirse como
1
ω 2 1
+ 1 ω 2 2
+ 1 ω 2 3
= 1
ω11
2 + 1
ω22
2 + 1
ω33
2
(7-30)
Si se ordenan las velocidades críticas de manera que ω 1 < ω 2 < ω 3 , entonces 1/ω 1
2
>> 1/ω 2
2
y
1/ω 3 2 . Entonces, la primera velocidad crítica, o velocidad fundamental, ω 1 puede aproximarse
mediante
1
ω 2 1
.
= 1
ω11
2 + 1
ω22
2 + 1
ω33
2
(7-31)
Esta idea puede ampliarse a un eje con n cuerpos:
1
ω 2 1
.
=
n
1
1=1
ωii
2
(7-32)