Diseño en ingenieria mecanica de Shigley

966 PARTE CUATRO Herramientas de análisis
z se encuentra normalmente distribuida, con una media de cero y una desviación estándar y
variancia iguales a la unidad. Esto es, z = N(0, 1). La probabilidad de una observación menor
que z es (z) en el caso de valores negativos de z, y 1 − (z) cuando se trata de valores
positivos de z en la tabla A-10.
EJEMPLO 20-3
Solución
En un embarque de 250 varillas de conexión, la resistencia tensil media es de 45 kpsi mientras
que la desviación estándar es de 5 kpsi.
a) Suponiendo una distribución normal, ¿cuántas varillas se espera que tengan una resistencia
menor a 39.5 kpsi?
b) ¿Cuántas se espera que tengan una resistencia entre 39.5 y 59.5 kpsi?
a) Sustituyendo en la ecuación (20-16) nos da la variable z estandarizada como
z 39.5 = x − μ x
ˆσ x
= S − ¯S 39.5 − 45
= =−1.10
ˆσ S 5
La probabilidad de que la resistencia sea menor que 39.5 kpsi se puede designar como F(z) =
(−1.10). Mediante el empleo de la tabla A-10 y haciendo referencia a la figura 20-7, encontramos
que (z 39.5 ) = 0.1357. De esta manera, el número de varillas con una resistencia
menor a 39.5 kpsi es,
Figura 20-7
f(z)
–
–1.1 0 +2.9
z 39.5 z 59.5
z
Respuesta N z 39.55 )=250(0.1357) =33.9 ≈ 34
debido a que (z 39.5 ) representa la proporción de la población N que tiene una resistencia
menor a 39.5 kpsi.
b) En correspondencia a S = 59.5 kpsi, tenemos que
z 59.5 =
59.5 − 45
5
= 2.90
Nuevamente con referencia a la figura 20-7, observamos que la probabilidad de que la resistencia
sea menor a 59.5 kpsi es F(z) = (z 59.5 ). Puesto que la variable z es positiva, necesitamos
encontrar el valor complementario a la unidad. De este modo, de la tabla A-10,
2.90) =1 − −2.90) =1 − 0.001 87 = 0.998 13
La probabilidad de que la resistencia caiga entre 39.5 y 59.5 kpsi es el área entre las ordenadas
en z 39.5 y z 59.5 en la figura 20-7. Esta probabilidad se calcula como
p = z 59.5 ) − z 39.5 )= 2.90) − −1.10)
= 0.998 13 − 0.1357 = 0.862 43
Por lo tanto, el número de varillas que se espera tengan resistencias entre 39.5 y 59.5 kpsi es
Respuesta N p = 250(0.862) =215.5 ≈ 216