Diseño en ingenieria mecanica de Shigley

174 PARTE UNO Fundamentos
Figura 4-18
P
P
P
a) Ambos extremos están
pivoteados o articulados;
b) ambos extremos están
empotrados; c) un extremo
libre, un extremo empotrado;
d) un extremo redondo y
articulado, y un extremo
empotrado.
l
y
l
2
l
4
l
4
A
B
l
P
l
0.707l
A
x
a) C = 1 b) C = 4 c) C = 1 4
d) C = 2
la cual se conoce como fórmula de Euler para columnas. La ecuación (4-39) puede extenderse
para aplicarse a otras condiciones de extremo al escribir
P cr = Cπ 2 EI
l 2 (4-40)
donde la constante C depende de las condiciones de los extremos como se muestra en la figura
4-18.
Mediante la relación I = Ak 2 , donde A es el área y k el radio de giro, es posible reacomodar
la ecuación (4-40) en la forma más conveniente
P cr
A = Cπ 2 E
(l/k) 2 (4-41)
donde l / k se llama relación de esbeltez. Esta relación, en lugar de la longitud real de la columna,
se usará para clasificar las columnas de acuerdo con las categorías de longitud.
La cantidad P cr /A en la ecuación (4-41) es la carga crítica unitaria, es decir, la carga por
área unitaria que se necesita para poner a la columna en una condición de equilibrio inestable.
En este estado, cualquier encorvadura pequeña del elemento o cualquier movimiento ligero
del apoyo o de la carga, causará que la columna se colapse. La carga unitaria tiene las mismas
unidades que la resistencia, pero ésta es para una columna específica, no del material de la
columna. Si se incrementa al doble la longitud de un elemento, por ejemplo, tendrá un efecto
drástico en el valor de P cr /A pero ningún efecto, digamos, en la resistencia a la fluencia S y del
material de la columna.
La ecuación (4-41) muestra que la carga unitaria crítica sólo depende del módulo de
elasticidad y de la relación de esbeltez. De esta manera, una columna de acero aleado de alta
resistencia que obedece la fórmula de Euler no es más resistente que una de acero de bajo
carbono, puesto que E es el mismo para ambas.
El factor C se conoce como constante de condiciones en extremos y tiene uno de los valores
teóricos 1 4, 1, 2 y 4, dependiendo de la manera en la cual se aplique la carga. En la práctica
es difícil, si no imposible, fijar los extremos de las columnas de tal manera que se aplican los
factores C = 2 o C = 4. Aunque los extremos se sueldan, habrá alguna deflexión. Debido a
esto, algunos diseñadores nunca utilizan un valor de C mayor que la unidad. Sin embargo, si
se emplean factores de seguridad amplios y si la carga de la columna se conoce con precisión,
no es irrazonable un valor de C que no sobrepase 1.2 para ambos extremos empotrados, o para
un extremo articulado y el otro empotrado, puesto que sólo se supone una fijación parcial. Por
supuesto, el valor C = 1 4 siempre se debe emplear para una columna con un extremo empotrado
y el otro libre. Estas recomendaciones se resumen en la tabla 4-2.