Diseño en ingenieria mecanica de Shigley

CAPÍTULO 4 Deflexión y rigidez 177
Figura 4-20
x
Notación en una columna
excéntricamente cargada.
A
P
x
l
δ
M
y
P
x
y
y
O P
e
P
a) b)
Pe
Esto resulta en la ecuación diferencial
d 2 y
dx + P 2 EI y =−Pe EI
(a)
La solución de la ecuación (a), dadas las condiciones de frontera en donde y = 0 en x = 0,
l es
y e[ ( tan l P
) ( x) cos( x) 1]
sen P
P
2 EI EI
Sustituyendo x = l / 2 en la ecuación (b) y usando una identidad trigonométrica, se obtiene
e[ ( ) 1]
sec P l
El momento flexionante máximo también ocurre a la mitad de la longitud y es
EI
2
EI
(b)
(4-44)
M máx =−P(e + δ) =−Pe sec l 2
P
EI
(4-45)
La magnitud del esfuerzo de compresión máximo a la mitad de la longitud se determina superponiendo
la componente axial y la componente de la flexión. Esto da
σ c = P A − Mc
I
= P A − Mc
Ak 2
(c)
Sustituyendo M máx en la ecuación (4-45) se tiene
σ c = P A
1 + ec
k 2 sec
l
2k
P
EA
(4-46)
Al imponer la resistencia a la fluencia compresiva S yc como el valor máximo de σ c , se expresa
la ecuación (4-46) en la forma
P
A =
S yc
1 +(ec/k 2 ) sec[(l/2k) √ P/AE]
(4-47)
Se le conoce como la fórmula de la secante de la columna. El término ec/k 2 se llama relación
de excentricidad. La figura 4-21 es una gráfica de la ecuación (4-47) para un acero con resis-