3 QUIMICA Schaum

PROBLEMAS RESUELTOS 173
c) Sea m la masa de un solo átomo de oro; su masa atómica es 197.0/g de Au. Para la estructura cúbica centrada en la
cara, con 8 vértices y 6 centros de cara,
Masa por celda unitaria = 1 8 (8m) + 1 (6m) = 4m
2
y m = 197.0 g
mol
1 mol
6.022 × 10 23 átomos
= 3.27 × 10 −22 g/átomo
e ntonces
Densidad = 4m
a 3 = 4(3.27 × 10−22 )
(4.07 × 10 −8 = 19.4 g/cm3
cm) 3
La inversa de esta clase de cálculo se puede aplicar para obtener una determinación precisa del número de
Avogadro, siempre que se conozcan con exactitud las dimensiones de la red, la densidad y la masa atómica.
d )
Ya que los átomos que se encuentran a la mínima distancia están en contacto mutuo, en una estructura de empacamiento
compacto, la distancia mínima entre los centros, calculada en a): a/ √ 2, debe ser igual a la suma de los radios de
los dos átomos esféricos: 2r. Entonces, r = a/ √ 2/2 = a/2 3/2 . De acuerdo con c), hay cuatro átomos de oro por celda
unitaria. Entonces,
Volumen de 4 átomos de oro = 4 4 3 p r3 = 4 4 3 p a
2 3/2 3
= p a3
3√2
y
Fracción de empacamiento =
volumen de 4 átomos de oro
volumen de la celda unitaria = p a3 /3√2
a 3 = p
3√2 = 0.7405
Observe que el parámetro a para la celda unitaria del oro se simplificó y que el resultado es válido para cualquier estructura
cúbica de empacamiento compacto. El radio metálico calculado, r = a/2 3/2 = 143.9 pm, es diferente tanto del radio
iónico como del radio covalente.
10.2. Demuestre que los huecos tetraédricos y octaédricos en el oro tienen el nombre adecuado. Calcule la distancia
mínima entre un átomo de una impureza y un átomo de oro, si ese átomo de la impureza ocupa: a) un hueco
tetraédrico, b) un hueco octaédrico. ¿Cuántos huecos de cada tipo hay por átomo de oro?
a) Examine la figura 10-1b) e imagine un hueco en el centro del minicubo delantero superior izquierdo. Este hueco
equidista de los cuatro vértices ocupados del minicubo, y la distancia común es la mitad de una diagonal que pasa por
el cuerpo del minicubo, es decir:
1
2
a
2
2
+
a
2
2
+
a
2
2
=
a√3
4
Estos cuatro vértices ocupados definen un tetraedro regular (vea el problema 9.18) con el centro del tetraedro en el
punto equidistante a los vértices, que, como ya se demostró, definen el lugar del hueco. Eso justifica el nombre de
“hueco tetraédrico”. Como la celda unitaria contiene 8 huecos tetraédricos, uno en cada minicubo, y hay 4 átomos
de oro (problema 10.1), hay 8 ÷ 4 = 2 huecos tetraédricos por átomo de oro.
b) Ahora, observe el hueco en el centro de la celda unitaria de la figura 10-1b). Ese hueco equidista de los centros de las
seis caras de la celda unitaria, y todas ellas son los sitios ocupados más cercanos al hueco. Estos seis puntos son los
vértices de una figura de ocho caras, y las caras son triángulos equiláteros (cuyas aristas son las diagonales de las caras
del minicubo). Esa figura es un octaedro regular, con el hueco en su centro; es correcto decir “hueco octaédrico”.
La distancia entre el hueco y el átomo vecino más cercano es a/2. Se puede hacer una demostración parecida
para un hueco octaédrico en el centro de una arista de la celda unitaria en la figura 10-1b), si se observa que la red
cristalina real está formada por un conjunto tridimensional de celdas unitarias, como en la figura 10-3. Cada uno de
esos huecos centrados en las aristas está compartido por cuatro celdas unitarias, y un cubo tiene 12 aristas, por lo cual
la cantidad de huecos octaédricos por celda unitaria es:
1 + 1 4 (12) = 4
La relación de huecos octaédricos a átomos de oro es 4:4 o 1:1, que simplemente se puede representar por 1.