Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

93
Eksempel 258 Lad C betegne mængden af cirkler i planen Π. Lad f betegne
følgende delmængde af C × Π: f = {(C, p) ∈ C × Π | p er centrum for C}. Da
er f en afbildning, og f(C) = centrum for C. f er altså den afbildning, som
afbilder en cirkel i sit centrum.
Bemærkning 259 I dansksproget litteratur bruges ordene funktion og afbildning
ofte i flæng. Dog bruges ordet funktion fortrinsvist om en afbildning, som
afbilder ind i de reelle eller komplekse tal. Vi vil i disse noter følge denne tradition.
Afbildninger af planen eller rummet ind i sig selv kaldes også transformationer,
og afbildninger mellem mængder af funktioner kaldes normalt operatorer.
Selv om vi formelt har defineret en funktion eller afbildning f : A −→ B
som en relation mellem A og B, dvs. som en delmængde af A × B, så er det
nyttigt at bibeholde den intuitive idé af en funktion eller afbildning som en
”maskine”, som sender elementer x fra A over i elementer f(x) i B. Den almindelige
sprogbrug om funktioner og afbildninger afspejler bedre denne intuitive,
men upræcise opfattelse af funktioner. Vi kalder for eksempel f(x) for billedet
(eller funktionsværdien) af x, og vi kan tale om at ”anvende” funktionen f på
x. Den delmængde af A × B som ifølge definitionen ”er” funktionen f, kalder
man sædvanligvis funktionens graf.
Det er derimod ikke hensigtsmæssigt at tænke på en funktion som en regneforskrift.
Selv om reelle funktioner ofte er defineret ved at angive y som en
formel i x, så kan mange (selv reelle) funktioner ikke angives på denne form.
Ofte illustrerer man afbildninger ved figurer i stil med Figur 8.1.
Figur 8.1: Afbildning af A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ind i B = {a.b.c.d.e}
Lad f være en afbildning fra A ind i B. Da kaldes A for definitionsmængden
og B kaldes sekundærmængden for f.
Definition 260 Mængden af funktionsværdier {y ∈ B | ∃x ∈ A : y = f(x)} kaldes
afbildningens billedmængde eller værdimængde.