Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

156 KAPITEL 11. GRAFER
Definition 449 Lad G være en graf. En ækvivalensklasse for relationen ”er vejforbundet
med” er en mængde V ′ af knuder. Hvis E ′ er mængden af de kanter i
G som har begge endepunkter i V ′ , så er V ′ og E ′ knudemængde og kantmængde
for en delgraf af G (overvej). Den kaldes en sammenhængskomponent af G.
Eksempel 450 Grafen på figur 11.5 har tre sammenhængskomponenter.
Bemærkning 451 En graf G’s sammenhængskomponenter er sammenhængende
delgrafer af G. Der er ingen kanter fra G som forbinder knuder i forskellige
sammenhængskomponenter. Sammenhængskomponenterne er dermed en
opdeling af grafen i uforbundne sammenhængende dele.
Bemærkning 452 Hvis R er en ækvivalensrelation er sammenhængskomponenterne
i dens graf netop ækvivalensklasserne.
11.2 Euler-ture og Hamilton-kredse
Nu kan vi vende os mod spørgsmålene: Hvilke grafer har en Euler-tur? Hvilke
grafer har en lukket Euler-tur? Hvilke grafer har en Hamilton-vej? Hvilke grafer
har en Hamilton-kreds? Man overbeviser sig let om, at nogle grafer har sådanne
ture, veje og kredse og andre har det ikke. Vi skal vise, at de let kan afgøres om
en graf har en lukket eller en åben Euler-tur. Problemerne om Hamilton-veje
og -kredse er endnu ikke løst så tilfredsstillende.
Sætning 453 Lad G være en graf uden isolerede knuder. Da har grafen en
lukket Euler-tur, hvis og kun hvis den er sammenhængende og alle knuderne har
lige valens.
Bevis. 1. Antag først, at G har en lukket Euler-tur. Da er G sammenhængende.
Thi lad v og w være to vilkårlige knuder i G. Vi har forudsat at ingen knuder
er isolerede, så både v og w er endepunkt for en kant. Da alle G’s kanter indgår
i Euler-turen, forbinder en del af turen v med w. Men ifølge sætning 442 er v
og w så vejforbundne. Altså er G sammenhængende.
Endvidere er ethvert punkts valens lige. Lad nemlig v være en vilkårlig
knude. Enhver kant der ender i v indgår i den lukkede Euler-tur. Hvis vi
gennemløber den lukkede Euler-tur én gang, vil vi altså passere kanterne, der
ender i v netop en gang hver. Men hver gang vi ankommer til v langs en kant,
forlader vi straks knuden langs en anden kant. Kanterne med endepunkt i v må
altså komme i par: en ankomst-kant og en afgangs-kant. Det gælder også den
første knude i den lukkede tur, idet den første afgangskant parres sammen med
den sidste ankomst-kant. Der er altså et lige antal kanter med endepunkt i v,
så v’s valens er lige.
Det var den simple implikation i sætningen. Den anden vej er mere overraskende
og lidt sværere at vise:
2. Antag nu at G er sammenhængende og at alle knuderne har lige valens.
Vi skal da vise, at der findes en lukket Euler-tur i grafen. Det gør vi ved
fuldstændig induktion efter antallet af grafens kanter.