Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

1.1. BASALE EGENSKABER 3
Bemærkning 12 Tallet 1 kaldes altså ikke et primtal (og heller ikke et sammensat
tal)
Definition 13 Hvis d er en divisor i de hele tal a og b siges d at være en fælles
divisor for a og b. Den største fælles divisor for tallene a og b betegnes (a, b).
Hvis (a, b) = 1 siges a og b at være indbyrdes primiske. Vi siger også at
a er primisk med b. I så fald er ±1 deres eneste fælles divisor.
Definition 14 Hvis m er et multiplum af både a og b siges m at være et fælles
multiplum af a og b. Det mindste fælles positive multiplum af a og b betegnes
med mfm(a, b) og kaldes det mindste fælles multiplum af a og b.
Øvelse 15 Bevis at to hele tal forskellig fra 0 har både en største fælles divisor
og et mindste fælles multiplum. Find disse størrelser for tallene 10 og 15.
Øvelse 16 Bevis at et primtal p er indbyrdes primisk med et helt tal a hvis og
kun hvis p ikke går op i a.
Sætning 17 Division med rest. Lad a være er helt tal og d et naturligt tal.
Da findes to entydigt bestemte hele tal q (kvotienten) og r (resten), så
a = dq + r og 0 ≤ r < d (1.15)
Bevis. Betragt følgen: · · · < −3d < −2d < −d < 0 < d < 2d < 3d < · · · Tallet
a vil da ligge i netop et af intervallerne mellem tallene i følgen, så der findes
præcist et q ∈ Z så
dq ≤ a < (q + 1)d (1.16)
eller
0 ≤ a − dq < d. (1.17)
Så hvis vi definerer resten r som r = a − dq er a = dq + r. derfor følger (1.15)
umidelbart af (1.17). Dermed har vi vist eksistensen af tallene q og r.
Entydigheden: Antag at der eksisterer to opskrivninger af a som i formel
(1.15):
Heraf fås at
så
a = dq 1 + r 1 og 0 ≤ r 1 < d (1.18)
a = dq 2 + r 2 og 0 ≤ r 2 < d. (1.19)
dq 1 + r 1 = dq 2 + r 2 (1.20)
d(q 1 − q 2 ) = r 2 − r 1 . (1.21)
Men da r 1 og r 2 begge ligger i intervallet [0, d) må deres differens være
numerisk mindre end d. Altså fås
|d(q 1 − q 2 )| < d (1.22)