Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

13.3. GRUPPER 193
Eksempel 599 Følgende er eksempler på abelske grupper: (R, +), (R \ {0} , ·),
(Q, +), (Q \ {0} , ·), (Z, +),(Zn, +), (Z/p \ {[0]} , ·) (C, +), (C {0} , ·), hvor
n ∈ N og p er et primtal.
Følgende er eksempler på ikke abelske grupper:
1. Mængden (S M , ◦) af bijektive afbildninger af en mængde på sig selv, udstyret
med kompositionsreglen ◦. Den kaldes den fulde transformationsgruppe
af M. Hvis M er en endelig mængde med n elementer kaldte vi
ovenfor disse bijektive afbildninger permutationer. Mængden af permutationer
af n elementer og multiplikation (sammensætning) som kompositionsregel
er således en ikke-abelsk gruppe. Disse grupper kaldes permutationsgrupper.
Hvis M = {1, 2, 3, ..., n} benævnes permutationsgruppen
S M også S n .
2. Mængden af lige permutationer af {1, 2, 3, ..., n}. Denne gruppe kaldes den
alternerende gruppe og benævnes A n .
3. Mængden af invertible reelle n × n matricer udstyret med kompositionsreglen
matrixmultiplikation. Den kaldes den generelle lineære gruppe af grad
n, og betegnes GL n (R)
4. Mængden af bijektive lineære afbildninger af et n-dimensionalt vektorrum
på sig selv udstyret med kompositionsreglen ◦.
Sætning 600 Lad (G, ⋆) være en gruppe med neutralt element e. Da gælder
Bevis. Følger af 573.
e −1 = e (13.37)
Sætning 601 Lad (G, ⋆) være en gruppe og x ∈ G. Da gælder:
(
x
−1 ) −1
= x (13.38)
Bevis. Vi skal vise at x er det inverse element til x −1 , altså at
x −1 ⋆ x = x ⋆ x −1 = e. (13.39)
Men det gælder, fordi x −1 er det inverse element til x.
Sætning 602 Lad (G, ⋆) være en gruppe og x, y ∈ G. Da er
Bevis. Ved gentagen brug af associativiteten fås
(x ⋆ y) −1 = y −1 ⋆ x −1 . (13.40)
(x ⋆ y) ⋆ ( y −1 ⋆ x −1) (13.41)
= x ⋆ (y ⋆ ( y −1 ⋆ x −1) ) (13.42)
= x ⋆ ( ( y ⋆ y −1) ⋆ x −1 ) (13.43)
= x ⋆ (e ⋆ x −1 ) = x ⋆ x −1 = e. (13.44)
På samme vis ses at ( y −1 ⋆ x −1) ⋆ (x ⋆ y) = e.
De følgende såkaldte forkortningsregler i grupper kan ofte benyttes: