Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

160 KAPITEL 11. GRAFER
som ligger imellem to forekomster af v, ′ er en lukket tur i G ′ . Hvis vi nu vælger
kanten e, som den første kant i en af disse lukkede ture, følger det af lemma
460, at G ′ forbliver sammenhængende, når e fjernes.
Hvis v ′ = v 0 , har alle knuder i G lige valens. Ifølge sætning 453 har G ′ derfor
en lukket Euler-tur. Da vi er kommet forbi trin 2 ved vi, at der er en kant fra
v ′ , og den indgår derfor i den lukkede Euler-tur. Ifølge lemma 460 forbliver G ′
derfor sammenhængende, hvis denne kant fjernes.
2. Algoritmen frembringer en lukket Euler-tur: Det er klart at algoritmen
stopper, thi i hvert gennemløb fjernes en kant, og dem er der kun endelig mange
af.
Når algoritmen stopper, er vi kommet til en knude v ′ , hvorfra der ikke udgår
nogen kant. Men da den resterende del G ′ af grafen er sammenhængende, må
den bestå af denne ene knude. Knuden v ′ må altså være lig v 0 (som jo ligger
i G ′ ). Altså er turen T en lukket tur, og da der ikke er flere kanter tilbage i G ′ ,
må de alle være med i T , som altså er en lukket Euler-tur.
Bemærkning 462 Hvis G er en sammenhængende graf med præcist to knuder
med ulige valens, er det let at se at hvis Fleurys algoritme startes i en af knuderne
med ulige valens, så ender den i den anden knude med ulige valens, og
frembringer en åben Euler-tur mellem disse to knuder.
Der kendes ingen pæne nødvendige og tilstrækkelige betingelser for om en
graf har en Hamilton-vej eller -kreds. Det er klart at jo flere kanter, der er i en
graf, jo lettere har den ved at have en Hamilton-vej eller -kreds. Her skal uden
bevis nævnes en betingelse, der sikrer, at der er nok kanter i grafen til at den
har en Hamilton-kreds:
Sætning 463 Lad G være en sammenhængende simpel graf med n knuder, n >
2. G har en Hamilton-kreds, hvis summen af valenserne af to vilkårlige knuder
v og w, som ikke er naboer, er større eller lig med n.
Korollar 464 Lad G være en sammenhængende simpel graf. med n knuder,
n > 2. G har en Hamilton-kreds, hvis enhver knude har valens ≥ n/2.
Bemærkning 465 Disse betingelser er dog ikke nødvendige. For eksempel har
standardgraferne C n i 441 en Hamilton-kreds, men for n ≥ 5 er betingelsen i
sætning 463 ikke opfyldt.
Øvelse 466 Hvilke af standardgraferne i 441 har en Hamilton-vej, og hvilke
har en Hamilton-kreds?
11.3 Orienterede grafer og relationer
Bemærkning 467 Der er mange varianter af grafer. For eksempel kan en graf
være forsynet med et tal på hver kant. Dette tal kan symbolisere en omkostning
ved at bevæge sig langs kanten eller et tidsforbrug. I så fald er det en oplagt