Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

6 KAPITEL 1. TAL, ISÆR DE HELE TAL
og da d = r n kan det skrives
d = r n−2 + (−q n−1 )r n−1 (1.37)
som jo er af formen (1.35) for i = n − 1.
Den trediesidste division i Euklids algoritme giver
r n−3 = q n−2 r n−2 + r n−1 (1.38)
eller
som indsat i (1.37) giver
r n−1 = r n−3 − q n−2 r n−2 (1.39)
d = r n−2 + (−q n−1 )(r n−3 − q n−2 r n−2 ) = (−q n−1 )r n−3 + (1 + q n−1 q n−2 )r n−2
(1.40)
som jo er af formen (1.35) for i = n − 2.
På helt samme måde ses det nu at hvis man allerede ved, at d kan skrives
på formen d = x i r i + y i+1 r i+1 for et eller andet i (altså at man allerede kender
x i og y i+1 ) og man ønsker at finde x i−1 og y i ud fra dem, så får man af (1.26)
at
d = x i r i + y i+1 (r i−1 − q i r i ) = y i+1 r i−1 + (x i − y i+1 q i )r i . (1.41)
Det udtrykker jo d på formen (1.35) ud fra det foregående par rester. (Man
har jo netop x i−1 = y i+1 og y i = x i − y i+1 q i og x i og y i+1 er antaget kendte.)
Ved at bruge denne udregning successivt kommer man til sidst til den ønskede
opskrivning (1.34). (x = x 0 , a = r 0 og y = y 1 , b = r 1 .)
Eksempel 23 Ved at regne baglæns i Euklids algoritme for tallene 375 og 885
(eksempel 21) fås:
15 = 105 − 3 · 30 (1.42)
= 105 − 3 · (135 − 1 · 105) = (−3) · 135 + 4 · 105 (1.43)
= (−3) · 135 + 4(375 − 2 · 135) = (−11) · 135 + 4 · 375 (1.44)
= (−11) · (885 − 2 · 375) + 4 · 375 = (−11) · 885 + 26 · 375 (1.45)
Sætning 24 Lad a og b være hele tal, hvoraf ikke begge er nul, og lad d = (a, b)
være deres største fælles divisor. Da vil et tal c være en fælles divisor i a og b
hvis og kun hvis c er en divisor i d.
Bevis. Hvis c er en divisor i d er c ifølge øvelse 8 en divisor i både a og b.
Omvendt, da d kan skrives på formen d = xa + yb hvor x, y ∈ Z vil c være
en divisor i d hvis det er en divisor i både a og b (iflg øvelse 7).
Korollar 25 To hele tal a og b er indbyrdes primiske hvis og kun hvis der findes
hele tal x og y så 1 = xa + yb.
Bevis. Hvis a og b er indbyrdes primiske er (a, b) = 1 så af sætning 22 følger
at der findes hele tal x og y så 1 = xa + yb.
Omvendt, hvis 1 = xa + yb, hvor x, y ∈ Z vil en fælles divisor i a og b også
være en divisor i 1. De fælles divisorer i a og b er altså ±1 så den største fælles
divisor er 1 hvorfor a og b er indbyrdes primiske.