Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

176 KAPITEL 12. ORDNINGSRELATIONER
Sætning 522 Hvis en partielt ordnet mængde har et største element, så er det
også et maximalt element i mængden og det er det eneste maximale element i
mængden.
Bevis. Antag at a er det største element i den partielt ordnede mængde (M, ≤).
Lad b ∈ M. Så er b ≤ a og derfor er det udelukket at a < b. Altså er a et
maximalt element.
Antag endvidere at c er et maximalt element i M. Da a er det største
element i M gælder at c ≤ a. Men da c er et maximalt element er det udelukket
at c < a. altså må der gælde at c = a. Det vil sige at a er det eneste maximale
element i M.
Sætning 523 I en totalt ordnet mængde er et maximalt element også det største
element.
Bevis. Overlades til læseren.
Definition 524 Et element a i en partielt ordnet mængde (M, ≤) kaldes et
minimalt element, hvis der ikke eksisterer et b ∈ M så b < a
Et element a i en partielt ordnet mængde (M, ≤) kaldes et mindste element,
hvis a ≤ x for alle x ∈ M.
Øvelse 525 Betragt Hasse diagrammet på figur 12.1. Angiv en delmængde af
P {1, 2, 3} som har minimale elementer men intet mindste element.
Sætning 526 Hvis en partielt ordnet mængde har et mindste element, så er
det entydigt bestemt.
Sætning 527 Hvis en partielt ordnet mængde har et mindste element, så er
det også et minimalt element i mængden og det er det eneste minimale element
i mængden.
Øvelse 528 Bevis de to foregående sætninger.
Øvelse 529 Bevis at det venstre endepunkt a er minimum af det lukkede interval
[a, b], og bevis at de åbne intervaller ]a, b[ og ] − ∞, b[ ikke har noget
minimum.
Definition 530 Lad A være en delmængde af en partielt ordnet mængde (M, ≤),
og lad x ∈ M.
1. x kaldes en majorant for A hvis a ≤ x for alle a ∈ A.
2. x kaldes en minorant for A hvis x ≤ a for alle a ∈ A.
Hvis der findes en majorant for A siges A at være opadtil begrænset. Hvis
der findes en minorant for A siges A at være nedadtil begrænset. Hvis A er
både opadtil og nedadtil begrænset, kaldes A for begrænset