Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

140 KAPITEL 10. PERMUTATIONER
3. Foreningsmængden af alle banerne er hele A.
Bevis. 1. og 3. følger af, at a ∈ B a .
2: Hvis c ∈ B a og c ∈ B b , så findes naturlige tal m og n, så c = σ n (a)
og c = σ m (b). Hvis m = n, er a = b (fordi σ n er injektiv). Hvis m > n, er
σ n (a) = σ n (σ m−n (b)), og da σ n er injektiv, følger det at a = σ m−n (b). Det vil
sige at a ∈ B b , så ifølge (10.47) er B a = B b .
Nu kan vi præcisere og bevise sætning 406.
Sætning 412 Cykelsætningen: Lad σ være en permutation på en endelig
mængde A, og lad B 1 , B 2 , ..., B n betegne banerne for σ og γ 1 , γ 2 , ..., γ n de tilhørende
cykler.
1. Da gælder
σ = γ 1 · γ 2 · · · γ n . (10.48)
2. Hvis et-punkts-banerne fjernes fra denne fremstilling fås en fremstilling af
σ som produkt af disjunkte cykler af længde større end 1. Denne fremstilling
er entydig på nær rækkefølgen af de indgående cykler.
Bevis. 1. Vi skal vise, at for ethvert a ∈ A gælder
σ(a) = γ 1 · γ 2 · · · γ n (a). (10.49)
Lad a ∈ A. Da ligger a ifølge foregående sætning i netop én bane B i . Ifølge
(10.45) og (10.46) gælder σ(a) = γ i (a), hvorimod a og σ(a) er et fixpunkt for
de andre cykler. Derfor gælder:
γ 1 · γ 2 · · · γ n (a) = γ i (a) = σ(a). (10.50)
2. Da cyklerne svarende til et-punkts-banerne er identitetspermutationen,
kan de fjernes fra γ 1 · γ 2 · · · γ n uden at ændre permutationen. Dermed er det
bevist, at enhver permutation kan skrives som produkt af cykler med længde
større end 1.
Entydigheden: Antag at σ er skrevet som et produkt af disjunkte cykler af
længde større end 1:
σ = γ 1 · γ 2 · · · γ k (10.51)
Hvis a er et fixpunkt for σ så optræder a ikke i noget γ. Hvis derimod a
ikke er fixpunkt for σ, da optræder a i præcist en af cyklerne γ j . Men så må
hele banen hørende til a også optræde i samme cykel, og cyklen må være cyklen
hørende til banen hørende til a. Altså er cyklerne i fremstillingen netop de
entydigt bestemte cykler hørende til de baner, som ikke er et-punkts-baner.
Bemærkning 413 Hvis alle baner er et-punkts-baner, er permutationen identitetspermutationen.
I det tilfælde vedtager vi at sige, at et produkt med nul
faktorer fremstiller identitetspermutationen.