Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

74 KAPITEL 6. MÆNGDELÆRE
ved, hvilken af de to alternativer p og ¬p vi skal regne for sand (og logikkens
regler kræver at præcist et af de to udsagn er sandt); det betyder faktisk også,
at vi kan bevise ethvert udsagn q (og dets negation) i teorien. Husk nemlig at
man kan bevise et udsagn q ved at vise at ¬q ⇒ (p ∧ ¬p) (bevis ved modstrid).
Men hvis både p og ¬p er sætninger i teorien er (p ∧ ¬p) sand, hvorfor udsagnet
¬q ⇒ (p ∧ ¬p) er sandt. Altså er det vilkårlige udsagn q bevist ved modstrid.
Altså hvis en teori indeholder ét paradoks, så er enhver sætning paradoksal i
den forstand at både den og dens negation er sand, eller sagt anderledes: ethvert
udsagn i teorien er både sandt og falsk. En sådan teori er både paradoksal og
uinteressant.
Vi har flere gange i det foregående advaret mod at opfatte ”alting” som en
mængde. For eksempel insisterede vi på, at man skulle have en grundmængde for
at kunne danne komplementærmængder, og vi understregede nødvendigheden
af, at den frie variabel i et prædikat var begrænset til en given mængde, så vi
ikke kan tale om alt i hele verden, som opfylder prædikatet. Man kan heller
ikke tale om mængden af alle mængder, men kun om mængden af mængder,
som er delmængder af samme givne mængde (potensmængden). Vi skal her se,
hvordan der kan opstå paradokser, hvis man ikke tager disse forholdsregler. Så
lad os lige for en stund glemme forholdsreglerne og formulere Russels paradoks 4 .
Der er i verden nogle mængder, som indeholder sig selv som element, for
eksempel mængden af mængder, og mængden af de mængder, som kan beskrives
på dansk med under 20 ord. Denne sidstnævnte mængde indeholder jo sig
selv, for jeg har lige beskrevet den med under 20 ord. Der er naturligvis også
mængder, som ikke indeholder sig selv som element. Alle de mængder vi har
set på i denne bog har således ikke haft sig selv som element. Nu kan vi så se
på mængden M af alle de mængder, som ikke har sig selv som element, altså
M = {X | X /∈ X} (6.96)
Vi spørger så, om M har sig selv som element eller ej? For at tydeliggøre
argumentet kalder vi prædikatet X /∈ X for p(X). Altså er M = {X | p(X)}
Antag først at M ∈ M, altså at M ∈ {X | X /∈ X} = {X | p(X)}. Ifølge
definitionen på sandhedsmængden {X | p(X)} betyder det, at p(M) er sand
altså at M /∈ M.
Antag dernæst at M /∈ M. Da M = {X | X /∈ X} = {X | p(X)}, betyder
det, at p(M) er falsk, altså at ¬p(M) er sand. Men det betyder, at ¬(M /∈ M),
altså at M ∈ M .
Vi har altså vist at M ∈ M ⇒ ( ¬(M ∈ M)) og ( ¬(M ∈ M)) ⇒ M ∈ M.
Men da et udsagn enten er sandt eller falsk, må enten M ∈ M eller ( ¬(M ∈ M))
være sandt. I begge tilfælde har vi udledt
altså et paradoks.
M ∈ M ∧ (¬(M ∈ M)) (6.97)
4 Efter matematikeren, filosoffen og fredsforkæmperen Bertrand Russell
1872 - 1970