Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

10.3. CYKELTYPE OG FORTEGN 141
Sætning 414 1. Enhver permutation σ af A = {a 1 , a 2 , ..., a n } kan skrives som
et produkt af transpositioner.
2. Er b ∈ A kan transpositionerne i produktet vælges på formen (b a) for
a ∈ A.
3. Transpositionerne i produktet også vælges på formen (a i a i+1 ) (nabotranspositioner).
Bevis. 1. Følger af cykelsætningen, ifølge hvilken enhver permutation kan
skrives som et produkt at cykler, og sætning 404, ifølge hvilken enhver cykel
kan skrives som at produkt af transpositioner.
2. Skriv σ som et produkt af transpositioner iflg. 1. Enhver af disse transpositioner
er af formen (a i a j ) . Hvis a i = b eller a j = b er transpositionen allerede
på formen (b a) så vi lader den stå. Hvis a i , a j ≠ b så er
(a i a j ) = (b a i ) (b a j ) (b a i ) . (10.52)
(Bevis selv dette. Husk at du skal checke alle a ∈ A). Hvis højresiden indsættes
i produktet i stedet for venstresiden, fås et produkt af den ønskede form.
3. ifølge 2. kan enhver permutation på A = {a 1 , a 2 , ..., a n } skrives som et
produkt af transpositioner af formen (a 1 a i ) i ≠ 1. Vi har altså vist pkt. 3, hvis
vi kan vise, at en permutation af formen (a 1 a j ) kan skrives som et produkt af
nabotranspositioner. Det vil vi gøre ved induktion efter i.
Induktionsstart: i = 2: (a 1 a 2 ) er allerede på den ønskede form.
Induktionsskridtet: Antag at (a 1 a i ) er et produkt af nabotranspositioner.
Da
(a 1 a i+1 ) = (a i a i+1 ) (a 1 a i ) (a i a i+1 ) (10.53)
(overvej), kan (a 1 a i+1 ) skrives som produkt af nabotranspositioner.
Ifølge princippet om matematisk induktion kan enhver transposition af formen
(a 1 a j ) derfor skrives som et produkt af nabotranspositioner. Deraf følger
3.
Bemærkning 415 Opskrivningen af en permutation som produkt af transpositioner
er ikke entydig.
10.3 Cykeltype og fortegn
Definition 416 Lad σ være en permutation af A = {a 1 , a 2 , ..., a n }. Da indføres
følgende betegnelser om banerne og deres længder:
m(σ) = antal baner for σ.
m p (σ) =antal baner for σ af længde p.
Den endelige følge m 1 (σ), m 2 (σ), ..., m n (σ) kaldes σ’s cykeltype. Den skrives
ofte som et formelt produkt:
1 m1 2 m2 · · · n mn (10.54)