Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

Kapitel 15
Polynomier
I analyse betragtes polynomier som en speciel slags reelle eller komplekse funktioner.
I dette kapitel skal vi betragte polynomier fra en algebraisk synsvinkel,
og vi skal vise nogle sætninger, som ligner de sætninger vi viste i kapitel 1 om
de hele tal. Vi skal behandle polynomier med koefficienter i Q, R og C under et,
så vi antager bare at koefficienterne tilhører et legeme.
15.1 Definition og simple egenskaber
Definition 673 Lad L være et legeme. Et polynomium med koefficienter i L
(eller et polynomium over L) er en følge P = (a 0 , a 1 , ..., a n , ...) af elementer i L
hvoraf kun endelig mange er forskellige fra 0. Hvis alle følgens elementer efter
a n er 0 skriver man også polynomiet symbolsk på formen
P (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + · · · + a n x n . (15.1)
Elementerne a i kaldes polynomiets koefficienter, og det største n for hvilket
a n ≠ 0 kaldes polynomiets grad og betegnes deg(P ).
Leddene a i x i kaldes polynomiets led. Hvis a i = 0, udelades ledet oftest i
udtrykket 15.1, og hvis a i = 1 skrives ledet blot x i .
Polynomiet (0, 0, 0, ....), som altså skrives symbolsk 0, kaldes nulpolynomiet,
og det tillægges graden -∞.
Polynomier af formen (a 0 , 0, 0, 0, ...) kaldes konstante polynomier.
Koefficienten a 0 kaldes for konstantleddet, og hvis polynomiet har grad n
kaldes koefficienten a n den ledende koefficient i polynomiet.
Et polynomium kaldes monisk, hvis den ledende koefficient er 1.
Mængden af polynomier med koefficienter i legemet L betegnes L [x]
Definition 674 Lad L være et legeme. På L [x] defineres de to kompositionsregler
+ og · på følgende måde:
(a 0 , a 1 , ..., a n , ...) + (b 0 , b 1 , ..., b n , ...) = (a 0 + b 0 , a 1 + b 1 , ..., a n + b n , ...) (15.2)
213