Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

8.3. SAMMENSÆTNING AF AFBILDNINGER, INVERS AFBILDNING101
Sætning 290 Lad A, B og C være mængder, og lad f : A −→ B og g : B −→ C
være afbildninger. Da gælder følgende:
1. Hvis g ◦ f : A −→ C er surjektiv, da er g surjektiv.
2. Hvis g ◦ f : A −→ C er injektiv, da er f injektiv.
Bevis. Bevis for 1 : Antag at g ◦ f : A −→ C er surjektiv. Vi skal vise, at
g er surjektiv. Lad derfor z ∈ C. Da g ◦ f er surjektiv, findes et x ∈ A, så
z = g ◦f(x) = g(f(x)). Men så findes jo et y ∈ B, så z = g(y), nemlig y = f(x).
Bevis for 2 : Antag at g ◦ f : A −→ C er injektiv. Vi skal vise, at f er
injektiv. Lad x 1 , x 2 ∈ A, og antag at f(x 1 ) = f(x 2 ). Vi skal vise at x 1 = x 2 .
Da f(x 1 ) = f(x 2 ), gælder
g ◦ f(x 1 ) = g(f(x 1 )) = g (f(x 2 )) = g ◦ f(x 2 ), (8.28)
og da g ◦ f var antaget injektiv, slutter vi heraf at x 1 = x 2 .
Øvelse 291 Angiv eksempler på situationer, hvor A, B og C er mængder, og
hvor f : A −→ B og g : B −→ C er afbildninger, og hvor
1. g er surjektiv, men g ◦ f ikke er surjektiv.
2. f er injektiv, men g ◦ f ikke er injektiv.
3. g ◦ f er surjektiv men f er ikke surjektiv.
4. g ◦ f er injektiv, men g er ikke injektiv.
Giv to slags eksempler: dels eksempler, illustreret med mængdeboller og pile,
i tilfælde hvor mængderne er endelige, og dels eksempler hvor mængderne A, B,
og C alle er de reelle tal.
Sætning 292 Lad A, B, C og D være mængder, og lad f : A −→ B og g :
B −→ C og h : C −→ D være afbildninger. Da gælder:
h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f (8.29)
Bevis. Overlades til læseren.
På grund af denne sætning kan vi tillade os at skrive h ◦ g ◦ f i stedet
for h ◦ (g ◦ f) eller (h ◦ g) ◦ f. Lignende betragtninger gælder naturligvis ved
sammensætning af flere end tre afbildninger.
Definition 293 Lad A være en mængde. Med 1 A betegnes den identiske afbildning
på A, dvs. afbildningen givet ved
Afbildningen 1 A er naturligvis bijektiv.
1 A (a) = a for alle a ∈ A (8.30)