Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

6.4. MÆNGDEDIFFERENS OG KOMPLEMENTÆRMÆNGDE 67
6.4 Mængdedifferens og komplementærmængde
Definition 162 Lad A og B være mængder. Mængden af de elementer i A, som
ikke er element i B, kaldes mængdedifferensen mellem A og B. Den betegnes
med A \ B . Med andre ord:
A \ B = {x | (x ∈ A) ∧ (x /∈ B)} (6.34)
eller
x ∈ A \ B ⇔ (x ∈ A) ∧ (x /∈ B) (6.35)
Eksempel 163 {a, b, c, d, e, f} \ {d, e, f, g, h, i} = {a, b, c}.
Eksempel 164 Z \ Z − = Z + ∪ {0}.
På Venn-diagrammet i Figur 6.4 er A \ B skraveret.
Figur 6.4: Mængdedifferensen A \ B
Sætning 165 Lad A og B være mængder. Da gælder:
A \ B ⊆ A, A \ A = ∅ og A \ ∅ = A (6.36)
Øvelse 166 Bevis at A \ B, B \ A og A ∩ B er disjunkte mængder hvis foreningsmængde
er lig med A ∪ B.
Det er ofte naturligt at betragte mængder, som alle er delmængder af en fast
mængde, som vi da kalder grundmængden. For eksempel, når man arbejder
med reel analyse er talmængderne alle delmængder af grundmængden R, og i
plangeometrien er punktmængderne alle delmængder af planen, der altså spiller
rollen af grundmængde.
Lad os nu se på en sådan situation, hvor alle betragtede mængder er delmængder
af en grundmængde, som vi kalder U (Vi bruger bogstavet U, fordi grundmængden
kaldes ”the universe” på engelsk).