Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

194KAPITEL 13. KOMPOSITIONSREGLER, GRUPPER OG ISOMORFIER
Sætning 603 Lad (G, ⋆) være en gruppe og x, y, z ∈ G. Da gælder
Bevis. Antag at x ⋆ y = x ⋆ z. Så gælder også
Ved at bruge associativiten ses at
og analogt
x ⋆ y = x ⋆ z ⇒ y = z. (13.45)
y ⋆ x = z ⋆ x ⇒ y = z. (13.46)
x −1 ⋆ (x ⋆ y) = x −1 ⋆ (x ⋆ z).
x −1 ⋆ (x ⋆ y) = (x −1 ⋆ x) ⋆ y = e ⋆ y = y
x −1 ⋆ (x ⋆ z) = (x −1 ⋆ x) ⋆ z = e ⋆ z = z.
Disse tre ligninger viser at y = z. Den anden forkortningsregel vises på samme
måde.
Sætning 604 Lad (G, ⋆) være en gruppe med neutralt element e, og lad H være
en ikke tom delmængde af G. Da er (H, ⋆) en gruppe, hvis
1. H er lukket under ⋆ , d.v.s.
2. e ∈ H
3. For alle x ∈ H gælder det, at x −1 ∈ H
∀x, y ∈ H : x ⋆ y ∈ H (13.47)
Bevis. Lukketheden af ⋆ sikrer, at ⋆ er en kompositionsregel på H. Vi skal da
blot checke, at de tre krav til en gruppe er opfyldt.
Associativiteten af (H, ⋆) følger af associativiteten af ⋆ på hele G.
Da e ∈ H, er dette element også neutralt element i (H, ⋆).
Et vilkårligt element x ∈ H har et inverst x −1 i (G, ⋆), og da dette er antaget
at ligge i H, er det også et inverst i (H, ⋆).
Definition 605 I en situation som den ovenstående kaldes H en undergruppe
af G.
Eksempel 606 (Q, +) og (Z, +) er undergrupper af (R, +) .
(Q \ {0} , ·) er en undergruppe af (R \ {0} , ·).
Eksempel 607 ({1, −1, i, −i} , ·) er en undergruppe i (C {0} , ·) (overvej dette).
Eksempel 608 En afstandsbevarende afbildning af planen på sig selv kaldes en
flytning. Mængden af flytninger er en undergruppe af mængden af bijektioner
af planen på sig selv udstyret med kompositionsreglen ◦.
Mængden af bijektive lineære afbildninger af et n-dimensionalt vektorrum
på sig selv udstyret med kompositionsreglen ◦ er en undergruppe af mængden af
bijektioner af vektorrummet på sig selv udstyret med kompositionsreglen ◦.