Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

More documents

Recommendations

Info

$Øvelse 1: Få LATEX op at stå Øvelse 2: At skrive matematiske ...$

232 KAPITEL 16. ORDNEDE LEGEMER. AKSIOMER FOR R Bevis. Beviset føres ved modstrid. Antag altså at der findes et x ∈ R, så x < n er falsk for alle n ∈ N. I så fald er n ≤ x for alle n ∈ N, så N er opadtil begrænset af x. Ifølge supremumsegenskaben findes da et supremum y for N. Da y er det mindste overtal for N, og y − 1 < y er y − 1 ikke et overtal. Der findes altså et naturligt tal m så y − 1 < m. Ifølge Sætning 711 er da y < m + 1, men da m + 1 ∈ N strider det mod at y er et overtal. Sætning 738 For ethvert positivt reelt tal x findes et naturligt tal n, så 1/n < x. Bevis. Antag x ∈ R + . Ifølge Sætning 707) er da x −1 ∈ R + . Altså findes et n ∈ N så x −1 < n. Ifølge Sætning 712 er da x = ( x −1) −1 > 1/n (overvej). Sætning 739 Ethvert positivt reelt tal har en positiv kvadratrod. Sagt med andre ord: ∀a ∈ R + ∃b ∈ R + : b 2 = a. (16.60) Bevis. Betragt mængden A = { x ∈ R | x 2 < a } . (16.61) Da 0 ∈ A er A ikke tom. Vi vil vise at A også er opadtil begrænset, mere præcist at a + 1 er et overtal. Vi skal altså vise at x 2 < a ⇒ x ≤ a + 1. (16.62) Det gør vi ved kontraposition. Antag altså at x > a + 1. Da følger af regnereglerne i Sætning 711 at x 2 ≥ (a + 1)x ≥ (a + 1) · 1 = a + 1 ≥ a. (16.63) hvilket netop er negationen af venstresiden i (16.62). Ifølge supremumsegenskaben har A altså et supremum b. Det kan vises, at b > 0 og at b 2 = a, (16.64) med andre ord, at b er en positiv kvadratrod af a. Beviset for at b er positiv overlades til læseren. Beviset for at b 2 = a forløber helt parallelt med beviset i Eksempel 550 idet vi viser at både b 2 < a og b 2 > a fører til modstrid, hvoraf trikotomiloven giver, at b 2 = a. Da vi i Sætning 79 har bevist at 2 ikke har en kvadratrod i Q, ligger der altså irrationale tal i R. Beviserne for de følgende sætninger overlader vi til læseren. Se opgaverne 3 og 4 nedenfor. Sætning 740 For alle x ∈ R, findes et n ∈ Z, hvorom det gælder, at n ≤ x < n + 1 (16.65)
16.3. OPGAVER 233 Sætning 741 For ethvert x ∈ R og ethvert ɛ ∈ R + eksisterer et rationalt tal q så |x − q| < ɛ. (16.66) Man siger at Q ligger tæt i R. Sætning 742 Mellem to vilkårlige forskellige reelle tal ligger der et rationalt tal. Med andre ord: ∀x, y ∈ R : (x < y) ⇒ (∃q ∈ Q : x < q < y) (16.67) Sætning 743 Mellem to vilkårlige forskellige reelle tal ligger der et irrationalt tal. 16.3 Opgaver 1. Formuler flere regneregler for uligheder i stil med reglerne i Sætning 711 og bevis dem. 2. Bevis Sætning 714 3. Bevis Sætning 740. Vink: Brug Sætning 737 til at vise at A = {n ∈ Z | n ≤ x} er ikke tom og opadtil begrænset. Betragt sup A. 4. Bevis sætning 741. Vink: Vis først at for ethvert naturligt tal N findes der et n ∈ Z så n N ≤ x < n + 1 N . (16.68) brug dernæst sætning 738 til at vælge N passende. 5. Bevis sætning 742. Vink: Vælg N så 1/N < (y − x), og brug ideen fra foregående opgave.
Page 1:
Diskrete Matematiske Metoder Jesper
Page 4 and 5:
iv INDHOLD 3.9.2 Ikke-konstruktive
Page 6 and 7:
vi INDHOLD 15.5 Opgaver . . . . . .
Page 8 and 9:
viii PREFACE
Page 10 and 11:
x INTRODUKTION. formålet med bogen
Page 12 and 13:
2 KAPITEL 1. TAL, ISÆR DE HELE TAL
Page 14 and 15:
Page 16 and 17:
Page 18 and 19:
Page 20 and 21:
10 KAPITEL 2. LOGIK 2.2 Sammensatte
Page 22 and 23:
12 KAPITEL 2. LOGIK læses som (¬p
Page 24 and 25:
14 KAPITEL 2. LOGIK I vores alminde
Page 26 and 27:
16 KAPITEL 2. LOGIK Sætning 65 Lad
Page 28 and 29:
18 KAPITEL 2. LOGIK er x 2 > 4 (san
Page 30 and 31:
20 KAPITEL 2. LOGIK (b) Ligningen x
Page 32 and 33:
22 KAPITEL 3. BEVISER • For hvert
Page 34 and 35:
24 KAPITEL 3. BEVISER Hvis processe
Page 36 and 37:
26 KAPITEL 3. BEVISER 3.7.1 Eksempl
Page 38 and 39:
28 KAPITEL 3. BEVISER Notation 82 B
Page 40 and 41:
30 KAPITEL 3. BEVISER 3.9.2 Ikke-ko
Page 42 and 43:
32 KAPITEL 3. BEVISER 3.11 Eksisten
Page 44 and 45:
34 KAPITEL 4. ANALYSE OG SYNTESE. d
Page 46 and 47:
36 KAPITEL 4. ANALYSE OG SYNTESE. 4
Page 48 and 49:
38 KAPITEL 4. ANALYSE OG SYNTESE. g
Page 50 and 51:
40 KAPITEL 4. ANALYSE OG SYNTESE. e
Page 52 and 53:
42 KAPITEL 4. ANALYSE OG SYNTESE. f
Page 54 and 55:
44 KAPITEL 4. ANALYSE OG SYNTESE.
Page 56 and 57:
46 KAPITEL 5. INDUKTIONSBEVISER Det
Page 58 and 59:
48 KAPITEL 5. INDUKTIONSBEVISER If
Page 60 and 61:
50 KAPITEL 5. INDUKTIONSBEVISER Ind
Page 62 and 63:
52 KAPITEL 5. INDUKTIONSBEVISER Vi
Page 64 and 65:
54 KAPITEL 5. INDUKTIONSBEVISER bev
Page 66 and 67:
56 KAPITEL 5. INDUKTIONSBEVISER og
Page 68 and 69:
58 KAPITEL 6. MÆNGDELÆRE Sætning
Page 70 and 71:
Page 72 and 73:
62 KAPITEL 6. MÆNGDELÆRE Figur 6.
Page 74 and 75:
64 KAPITEL 6. MÆNGDELÆRE Figur 6.
Page 76 and 77:
66 KAPITEL 6. MÆNGDELÆRE Definiti
Page 78 and 79:
68 KAPITEL 6. MÆNGDELÆRE Definiti
Page 80 and 81:
Page 82 and 83:
72 KAPITEL 6. MÆNGDELÆRE Notation
Page 84 and 85:
74 KAPITEL 6. MÆNGDELÆRE ved, hvi
Page 86 and 87:
76 KAPITEL 6. MÆNGDELÆRE og 6. Be
Page 88 and 89:
78 KAPITEL 7. RELATIONER. ÆKVIVALE
Page 90 and 91:
Page 92 and 93:
Page 94 and 95:
Page 96 and 97:
Page 98 and 99:
Page 100 and 101:
Page 102 and 103:
92 KAPITEL 8. AFBILDNINGER, FUNKTIO
Page 104 and 105:
Page 106 and 107:
Page 108 and 109:
Page 110 and 111:
100 KAPITEL 8. AFBILDNINGER, FUNKTI
Page 112 and 113:
Page 114 and 115:
Page 116 and 117:
Page 118 and 119:
Page 120 and 121:
110 KAPITEL 9. TÆLLEMETODER. KOMBI
Page 122 and 123:
Page 124 and 125:
Page 126 and 127:
Page 128 and 129:
Page 130 and 131:
Page 132 and 133:
Page 134 and 135:
Page 136 and 137:
Page 138 and 139:
Page 140 and 141:
Page 142 and 143:
132 KAPITEL 10. PERMUTATIONER Notat
Page 144 and 145:
134 KAPITEL 10. PERMUTATIONER Permu
Page 146 and 147:
136 KAPITEL 10. PERMUTATIONER 10.2
Page 148 and 149:
138 KAPITEL 10. PERMUTATIONER Hvis
Page 150 and 151:
140 KAPITEL 10. PERMUTATIONER 3. Fo
Page 152 and 153:
142 KAPITEL 10. PERMUTATIONER Eksem
Page 154 and 155:
144 KAPITEL 10. PERMUTATIONER 2. An
Page 156 and 157:
146 KAPITEL 10. PERMUTATIONER Alts
Page 158 and 159:
148 KAPITEL 10. PERMUTATIONER hvor
Page 160 and 161:
150 KAPITEL 11. GRAFER punkter og k
Page 162 and 163:
152 KAPITEL 11. GRAFER 1. Rute: En
Page 164 and 165:
154 KAPITEL 11. GRAFER Figur 11.4:
Page 166 and 167:
156 KAPITEL 11. GRAFER Definition 4
Page 168 and 169:
158 KAPITEL 11. GRAFER Øvelse 456
Page 170 and 171:
160 KAPITEL 11. GRAFER som ligger i
Page 172 and 173:
162 KAPITEL 11. GRAFER Bemærkning
Page 174 and 175:
164 KAPITEL 11. GRAFER Korollar 484
Page 176 and 177:
166 KAPITEL 11. GRAFER Eksempel 491
Page 178 and 179:
168 KAPITEL 11. GRAFER Figur 11.10:
Page 180 and 181:
170 KAPITEL 11. GRAFER
Page 182 and 183:
172 KAPITEL 12. ORDNINGSRELATIONER
Page 184 and 185:
Page 186 and 187:
Page 188 and 189:
Page 190 and 191:
Page 192 and 193: 182 KAPITEL 12. ORDNINGSRELATIONER
Page 194 and 195: 184 KAPITEL 12. ORDNINGSRELATIONER
Page 196 and 197: 186KAPITEL 13. KOMPOSITIONSREGLER,
Page 214 and 215: 204 KAPITEL 14. RINGE OG LEGEMER De
Page 216 and 217: 206 KAPITEL 14. RINGE OG LEGEMER Be
Page 218 and 219: 208 KAPITEL 14. RINGE OG LEGEMER 14
Page 220 and 221: 210 KAPITEL 14. RINGE OG LEGEMER Ø
Page 222 and 223: 212 KAPITEL 14. RINGE OG LEGEMER S
Page 224 and 225: 214 KAPITEL 15. POLYNOMIER (a 0 , a
Page 226 and 227: 216 KAPITEL 15. POLYNOMIER Sætning
Page 228 and 229: 218 KAPITEL 15. POLYNOMIER Sætning
Page 230 and 231: 220 KAPITEL 15. POLYNOMIER Bevis. f
Page 232 and 233: 222 KAPITEL 16. ORDNEDE LEGEMER. AK
Page 246 and 247: 236 KAPITEL 17. TALSYSTEMETS OPBYGN
Page 254 and 255: 244 INDEX fælles nævner, 238 fæl
Page 256: 246 INDEX relateret delmængde, 79
show all

Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?