Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

6.2. DELMÆNGDER 61
Sætning 133 Mængden af punkter i planen, som ligger lige langt fra to givne
punkter A og B, er midtnormalen til linjestykket AB. 1
Bevis. Vi viser først at mængden af punkter i planen, som ligger lige langt
fra A og B, er indeholdt i midtnormalen. Lad derfor C være et punkt, som
ligger lige langt fra A og B. Tegn trekant ABC. Halver linjestykket AB i D
og tegn CD. Nu er siderne i ∆CAD og ∆CBD parvist lige store, hvorfor de
to trekanter er kongruente (Euklid I.8). Men så er ∠CDA = ∠CDB, hvorfor
de ifølge definitionen på en ret vinkel (Euklid Def. 10) må være rette. Men
det betyder at linjen CD er midtnormalen til AB. Altså ligger C på denne
midtnormal.
Dernæst viser vi omvendt, at ethvert punkt på AB’s midtnormal ligger lige
langt fra A og B. Antag altså at C ligger på AB’s midtnormal, som skærer AB
i midtpunktet, som vi kalder D. Tegn trekant ABC. Ifølge Euklid I.4 er ∆CDA
kongruent med ∆CDB, thi ∠CDA = ∠CDB, og de to hosliggende sider er også
parvist lige store. Men så er CA = CB, så C ligger lige langt fra A og B.
Bemærkning 134 I geometri kaldes mængden af punkter, som opfylder en
bestemt egenskab, for ”det geometriske sted for de punkter, der opfylder egenskaben”.
Vi har altså bevist at det geometriske sted for de punkter i planen,
som ligger lige langt fra to punkter, er midtnormalen til linjestykket mellem
punkterne.
Sætning 135 Lad A, B og C være mængder. Hvis A ⊆ B og B ⊆ C, så gælder
A ⊆ C.
Bevis. Antag at A ⊆ B og B ⊆ C. Vi skal vise, at A ⊆ C, altså at x ∈ A ⇒
x ∈ C. Lad derfor x ∈ A. Vi skal da vise at x ∈ C.
Da A ⊆ B, kan vi af x ∈ A slutte, at x ∈ B, og da B ⊆ C, slutter vi videre
at x ∈ C.
Notation 136 Hvis A ⊆ B og B ⊆ C tillader man sig derfor at skrive A ⊆
B ⊆ C. På lignende måde kan man skrive A ⊂ B ⊆ C, A ⊆ B ⊂ C og
A ⊂ B ⊂ C. Betydningen heraf er klar. Derimod skriver man ikke strenge hvor
inklusionstegnene vender hver sin vej (f.eks. A ⊇ B ⊆ C).
Venn-diagrammer. Man kan illustrere mængder i et såkaldt Venn-diagram.
Figur 6.1 illustrerer situationen A ⊆ B ⊆ C. Punkterne inden for bollerne
forestiller elementerne i mængden. Sætning 135 kan nærmest aflæses ud af figuren.
En sådan figurinspektion kan dog formelt ikke gøre det ud for et bevis,
men den kan give gode ideer til hvilke formodninger, man skal opstille. Venndiagrammer
giver også en god intuition om situationen, så det anbefales, at
du så vidt muligt laver diagrammer, der illustrerer de følgende sætninger om
mængder.
1 Midtnormalen til et linjestykke er en ret linje, som står vinkelret på midten af linjestykket.