Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

224 KAPITEL 16. ORDNEDE LEGEMER. AKSIOMER FOR R
Sætning 709 Relationen ≤ defineret i Definition 708 er en total ordningsrelation
på L.
Bevis. Vi skal vise at ≤ er en ordningsrelation på L, og at den er total.
• Refleksivitet: Lad x ∈ L. Da x − x = x + (−x) = 0 ∈ L + ∪ {0}, er x ≤ x.
Altså er ≤ refleksiv.
• Antisymmetri: Lad x, y ∈ L, og antag at x ≤ y og y ≤ x. Det betyder pr.
definition, at
(y − x) ∈ L + ∪ {0} (16.15)
og
Ifølge Sætning 665 er
(x − y) ∈ L + ∪ {0} . (16.16)
x − y = − (y − x) . (16.17)
Da (y − x) ∈ L + ∪ {0} følger af aksiom O2, at x − y = − (y − x) /∈ L + ,
men da vi har antaget at (x − y) ∈ L + ∪ {0}, må x − y = 0. Men så
gælder:
y = y + 0 = y + (x − y) = x + y + (−y) = x + 0 = x. (16.18)
Altså er ≤ antisymmetrisk.
• Transitivitet: Lad x, y, z ∈ L, og antag at x ≤ y og y ≤ z, altså at
og
Da gælder ifølge aksiom O1 at 1
(y − x) ∈ L + ∪ {0} (16.19)
(z − y) ∈ L + ∪ {0} . (16.20)
(z − x) = ((z − y) + (y − x)) ∈ L + ∪ {0} , (16.21)
hvoraf ses, at x ≤ z. Dermed er påvist, at ≤ er transitiv.
• Totalitet: Lad x, y være vilkårlige elementer i L. Vi skal vise at x ≤ y
eller y ≤ x. Ifølge aksiom O2 og Sætning 665 ved vi, at et af følgende
udsagn holder:
y − x ∈ L + , (16.22)
y − x = 0, (16.23)
x − y = − (y − x) ∈ L + . (16.24)
Hvis et af de to første udsagn er sande, gælder x ≤ y og hvis et af de to
sidste udsagn er sande, gælder y ≤ x. Altså er enten x ≤ y eller y ≤ x.
1 Her angives ikke alle mellemregninger. Læseren kan selv fylde dem på.