Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

10.3. CYKELTYPE OG FORTEGN 143
Huskeregel: For en p-cykel gælder:
σ er ulige, hvis p er lige (10.61)
σ er lige, hvis p er ulige (10.62)
Specielt har en transposition fortegn sign(τ) = −1 og er altså ulige.
Vi vil nu vise at sign(µ · σ) =sign(µ)·sign(σ). Først vises et lemma:
Lemma 423 Lad τ være en transposition på A og σ en vilkårlig permutation
på A. Da gælder
m(τσ) = m(σ) ± 1. (10.63)
Bevis. Lad A = {a 1 , a 2 , ..., a n }, og τ = (a b). Opskriv banerne B a (σ) og B b (σ)
på følgende måde:
B a (σ) = {a = a 1 , a 2 , ..., a p } (10.64)
hvor σ(a i ) = a i+1 når 1 ≤ i ≤ p − 1, og σ(a p ) = a 1 (10.65)
B b (σ) = {b = b 1 , b 2 , ..., b q } (10.66)
hvor σ(b i ) = b i+1 når 1 ≤ i ≤ q − 1, og σ(b q ) = b 1 (10.67)
Der er nu to tilfælde: enten er B a (σ) og B b (σ) disjunkte, eller også er B a (σ) =
B b (σ) (iflg. sætning 411).
1. Antag at B a (σ) ∩ B b (σ) = ∅. Da er
B a (τσ) = {a = a 1 , a 2 , ..., a p , b = b 1 , b 2 , ..., b q } . (10.68)
For at indse det betragtes elementerne (τσ) i (a) for i = 1, 2, ..., p + q:
τσ(a) = τ(σ(a)) = τ(a 2 ) = a 2 (10.69)
(τσ) 2 (a) = τσ(τσ(a)) = τσ(a 2 ) = τ(a 3 ) = a 3 (10.70)
. (10.71)
(τσ) p (a) = τσ((τσ) p−1 (a) = τσ(a p ) = τ(a 1 ) = τ(a) = b (10.72)
(τσ) p+1 (a) = τσ(b) = b 2 (10.73)
.
. (10.74)
(τσ) p+q (a) = τσ(b q ) = τ(b 1 ) = τ(b) = a (10.75)
Altså bliver de to σ-baner B a (σ) og B b (σ) slået sammen til én τσ-bane.
De andre σ-baner forbliver baner for τσ (overvej). Altså fås i dette tilfælde at
m(τσ) = m(σ) − 1.