Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

6.2. DELMÆNGDER 59
Eksempel 124 Z + = {x ∈ Z | x > 0}
Eksempel 125 Q = {x ∈ R | ∃a, b ∈ Z : (b ≠ 0) ∧ ( )
x = a b } = {
a
b
Z) ∧ (b ≠ 0)}
| (a, b ∈
Hvis det er helt klart hvilken grundmængde den frie variabel x tænkes at
løbe over, tillader man sig at skrive {x | p(x)}. Men man skal være forsigtig
med denne skrivemåde. Mængdelærens aksiomer tillader ikke, at man danner
mængden af al ting, som opfylder et bestemt prædikat. Vi skal senere se hvorfor.
Notation 126 Intervaller. Man bruger følgende skrivemåde for intervaller
af reelle tal (her er a, b ∈ R):
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} kaldes det lukkede interval fra a til b.
]a, b[ = {x ∈ R | a < x < b} kaldes det åbne interval fra a til b.
[a, b[ = {x ∈ R | a ≤ x < b} og ]a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b} kaldes halvåbne
intervaller.
[a, ∞[ = {x ∈ R | a ≤ x} og ]−∞, a] = {x ∈ R | x ≤ a} kaldes lukkede.
]a, ∞[ = {x ∈ R | a < x} og ]−∞, a[ = {x ∈ R | x < a} kaldes åbne.
I engelsksproget literatur er det mest almindeligt at betegne åbne intervaller
med runde parenteser. F.eks. betegner (a, b) det åbne interval, som vi ovenfor
har betegnet ved ]a, b[.
6.2 Delmængder
Definition 127 En mængde A kaldes en delmængde af en mængde B (eller
at A er indeholdt i B), hvis alle elementerne i A også ligger i B. I så fald siger
man også at A er indeholdt i B, eller at B indeholder A. Man skriver da A ⊆ B
eller B ⊇ A.
Med andre ord A ⊆ B, hvis
x ∈ A ⇒ x ∈ B. (6.4)
Bevisstrategi. Når man skal vise at A ⊆ B, skal man altså vise at et
vilkårligt element i A ligger i B. Beviset begynder derfor med ordene: ”Lad
x ∈ A” og fortsætter med at vise, at vi ud fra x ∈ A kan slutte at x ∈ B. Antag
nu at mængderne er givet som sandhedsmængder for to prædikater: A = {x ∈
M | p(x)} og B = {x ∈ M | q(x)}. Beviset for A ⊆ B vil da forløbe således:
”Lad x ∈ A. Så vil p(x) være opfyldt” så argumenteres for at p(x) ⇒ q(x)
hvorefter der sluttes: ”Altså er q(x) sand hvorfor x ∈ B”.
Eksempel 128 Vis, at {x ∈ R | x 2 < 2} ⊆ {x ∈ R | x < 5}.
Bevis. Antag at x ∈ {x ∈ R | x 2 < 2}, altså at x 2 < 2. Da gælder, at x 2 < 4,
hvorfor −2 < x < 2. Heraf sluttes, at x < 5, altså at x ∈ {x ∈ R | x < 5}.
Vi kan præcisere ovenstående bevisstrategi til en sætning: