Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

198KAPITEL 13. KOMPOSITIONSREGLER, GRUPPER OG ISOMORFIER
Denne kompositionstavle er identisk med kompositionstavlen for (Z4, +)
bortset fra ϕ’erne. Vi kan derfor opfatte de to grupper som ens, bortset fra
at elementerne hedder noget forskelligt. Vi vil sige at to grupper er isomorfe
(græsk for ”samme form”), hvis de ved omdøbning af elementerne, kan få samme
kompositionstavle. Denne karakterisering er dog lidt tung, og den duer åbenbart
kun for endelige grupper. Derfor vil vi omformulere isomorfibegrebet på en
måde, som også kan bruges på uendelige grupper.
Ideen til denne generalisering får vi ved at betragte omdøbningen ϕ som en
funktion Z4 −→ {1, −1, i, −i}. Denne funktion skal være bijektiv. For at kompositionstavlerne
skal have samme form skal ϕ desuden have den egenskab, at
det element i kompositionstavlen for ({1, −1, i, −i} , ·), som angiver ϕ(x) · ϕ(y),
skal være det samme element, som man får, ved at finde x + y i kompositionstavlen
for (Z4, +) og anvende ϕ på dette element. Med andre ord, skal der
gælde at ∀x, y ∈ Z4 : ϕ(x + y) = ϕ(x) · ϕ(y).
Denne karakterisering af isomorfibegrebet lader sig generalisere til vilkårlige
grupper, og derfor vil vi bruge den som definition:
Definition 613 Lad (G, ⋆) og (H, ◦) være to grupper. En afbildning ϕ : G −→
H kaldes en (gruppe)isomorfi, hvis
1. ϕ er bijektiv,
2. for alle x, y ∈ G gælder, at
ϕ(x ⋆ y) = ϕ(x) ◦ ϕ(y). (13.52)
Hvis der findes en isomorfi ϕ : (G, ⋆) −→ (H, ◦), siges (G, ⋆) og (H, ◦) at
være isomorfe.
Eksempel 614 1. Den ovenfor nævnte omdøbning ϕ opfattet som en funktion
(Z4, +) −→ ({1, −1, i, −i} , ·) er en isomorfi.
2. Den afbildning, som sender en bijektiv lineær afbildning af et n-dimensionalt
reelt vektorrum på sig selv over i den tilhørende matrix i en given basis, er
en isomorfi af gruppen af bijektive lineære afbildninger på vektorrummet
på GL n (R).
Øvelse 615 Vis, at følgende afbildninger er isomorfier:
1. x 2 : (R + , ·) −→ (R + , ·).
2. kx : (R, +) −→ (R, +).
3. log : (R + , ·) −→ (R, +).
4. e x : (R, +) −→ (R + , ·).
Bemærkning 616 Da en isomorfi specielt er bijektiv, har to isomorfe endelige
grupper samme antal elementer. (se Sætning 313)