Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

6.6. PRODUKTMÆNGDE 71
Bemærkning 179 Ovenfor blev der brugt to forskellige måder at præsentere to
resultater, hvoraf den ene er en generalisering af den anden. Ved præsentation
af de distributive love formulerede jeg først det specielle tilfælde i sætning 171
og generaliserede det derefter i sætning 174. Ved præsentation af De Morgans
love beviste jeg straks det generelle resultat (Sætning 175), hvorefter de specielle
resultater i sætning 177 faldt ud som specialtilfælde. Den første metode kan
have pædagogiske fordele, medens den anden er den korteste og matematisk
mest elegante.
Sætning 180 Lad A, B og C være mængder. Da gælder:
og
B \ (B \ A) = A ∩ B (6.73)
(A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B) (6.74)
Øvelse 181 Illustrer disse identiteter i et Venn-diagram og bevis dem formelt.
6.6 Produktmængde
Definition 182 Et ordnet par (a, b) er et par i en bestemt rækkefølge. Det
betyder at to ordnede par er lig hinanden, hvis og kun hvis de indeholder de
samme objekter i samme rækkefølge:
(a 1 , b 1 ) = (a 2 , b 2 ) ⇔ (a 1 = a 2 ) ∧ (b 1 = b 2 ). (6.75)
Bemærkning 183 Det er vigtigt skældne mellem mængden {a, b} og det ordnede
par (a, b). Hvis a ≠ b er (a, b) ≠ (b, a) medens {a, b} = {b, a}. Desuden er der
mening i at tale om talparret (a, a), hvorimod {a, a} blot er en besværlig måde
at skrive {a}. 3
Definition 184 Lad A og B være to givne mængder. Vi betragter da ordnede
par (a, b), hvor a på førstepladsen er et element fra A og b på andenpladsen er
et element fra B. Mængden af sådanne par kaldes produktmængden (eller det
cartesiske produkt) af A og B og betegnes med A × B.
A × B = {(a, b) | (a ∈ A) ∧ (b ∈ B)} (6.76)
Eksempel 185 Lad A = {1, 2} og B = {a, b, c}. Da består A × B af følgende
ordnede par:
c (1, c) (2, c)
b (1, b) (2, b)
a (1, a) (2, a)
1 2
Altså A × B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}
(6.77)
3 Det er dog muligt at definere et ordnet par (a, b) udelukkende i mængdeteoretiske termer.
Man definerer det da som {{a} , {a, b}}