Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

222 KAPITEL 16. ORDNEDE LEGEMER. AKSIOMER FOR R
I det følgende betegner L + og L − de positive, henholdsvist negative elementer
i et ordnet legeme (L, +, ·).
Øvelse 703 Bevis ved induktion, at summen af et vilkårligt endeligt antal positive
elementer i et ordnet legeme er positiv.
Sætning 704 For ethvert element x i et ordnet legeme (L, +, ·) gælder præcist
et af følgende udsagn:
x ∈ L + (16.6)
x = 0 (16.7)
x ∈ L −. (16.8)
Bevis. Først viser vi at højst et af de tre udsagn kan være sandt, altså at to af
dem ikke kan være sande samtidigt:
• x ∈ L + og x = 0 kan ikke begge være sande i følge aksiom O2.
• x ∈ L − og x = 0 kan ikke begge være sande, da 0 /∈ L − (iflg. definitionen
af L − ).
• x ∈ L − og x ∈ L + kan ikke begge være sande, da L − := ∁ (L + ∪ {0}).
Dernæst viser vi at mindst et af udsagnene er sandt. Til det formål er det
nok at vise, at hvis to af udsagnene er falske, så er det sidste udsagn sandt.
Antag derfor, at x ∈ L + og x = 0 begge er falske udsagn, altså at x ∈ ∁L + og
x ∈ ∁ {0}. Ifølge De Morgans love (Sætning 176) gælder altså, at
Altså er det sidste udsagn sandt.
x ∈ ( ∁L +
)
∩
(
∁ {0}
)
= ∁ (L+ ∪ {0}) = L −. (16.9)
Sætning 705 For ethvert element x i et ordnet legeme (L, +, ·) gælder
x ∈ L + ⇔ −x ∈ L − . (16.10)
Bevis. ”⇒”: Antag at x ∈ L + . Ifølge Sætning 704 ved vi, at −x ∈ L + eller
−x = 0 eller −x ∈ L − . Vi vil ved modstrid vise, at de to første alternativer
ikke er mulige:
1. Antag at −x ∈ L + . Ifølge aksiom O1 vil da 0 = x + (−x) ∈ L + , men det
strider mod aksiom O2, som jo bl.a. siger at 0 /∈ L + .
2. Antag at −x = 0. Da er 0 = x + (−x) = x + 0 = x, som jo atter strider
mod aksiom O2, idet vi har antaget at x ∈ L + .
Da både −x ∈ L + og −x = 0 er falske udsagn, må −x ∈ L − være sand.
”⇐”: Antag at −x ∈ L − . Ifølge Sætning 704 gælder da hverken −x ∈
L + eller −x = 0, så ifølge aksiom O2 må −(−x) ∈ L + men ifølge (14.40) er
−(−x) = x, hvorfor x ∈ L + .
Den næste sætning viser, at der i et vilkårligt ordnet legeme gælder de
sædvanlige fortegns-regneregler: