Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

200KAPITEL 13. KOMPOSITIONSREGLER, GRUPPER OG ISOMORFIER
i (Z4, +) , som sammensat med sig selv giver [0]. Derfor kan vi slutte, at
ϕ(a) = [0], eller ϕ(a) = [2].
Antag først at ϕ(a) = [0]. Fra sætning 617 ved vi, at ϕ(e) = [0]. Altså
er ϕ(a) = ϕ(e), og da ϕ var antaget bijektiv, kan vi herfra slutte at a = e, i
modstrid med, at vi havde antaget, at a ≠ e. Altså kan vi slutte, at ϕ(a) = [2].
Betragt nu et tredje element b ∈ (K, ◦) forskelligt fra e og a. Som ovenfor
kan vi slutte, at ϕ(b) = [0] = ϕ(e), eller ϕ(b) = [2] = ϕ(a). Da ϕ er bijektiv
medfører det at b = e, eller b = a, i modstrid med forudsætningen.
Vi har dermed vist, at det fører til modstrid at antage, at (K, ◦) og (Z4, +)
er isomorfe.
Bemærkning 621 Der findes altså mindst to ikke isomorfe grupper af orden
4, nemlig Kleins firegruppe og (Z4, +).
Bevis.
Bemærkning 622 Grupperne, som er isomorfe med (Z4, +) kaldes cykliske
grupper af orden 4. Mere generelt kaldes grupper, der er isomorfe med
(Zn, +), for cykliske grupper af orden n.
I algebrakurset vil det blive bevist at når p er et primtal, så er alle grupper af
orden p isomorfe med (Zp, +). Sagt med andre ord: Der findes op til isomorfi
kun én gruppe af primtalsorden, nemlig den cykliske gruppe.
Øvelse 623 Betragt (Zn, ·). Argumenter for at delmængden bestående af de
invertible elementer er en gruppe. Denne gruppe kaldes (Zn) ∗ .
Bestem mængderne (Z3) ∗ og (Z4) ∗ , og opstil kompositionstavlerne for
de to grupper. Check om de er cykliske.
13.5 Ordningsisomorfier
En gruppeisomorfi kan opfattes som en afbildning, som bevarer gruppens struktur.
Man definerer generelt en isomorfi, som en bijektiv afbildning, som bevarer
en matematisk struktur. For eksempel er bijektive lineære afbildninger vektorrumsisomorfier.
På strukturen af partielt ordnede mængder definerer man en
ordningsisomorfi som følger:
Definition 624 Lad (A, ≤ A ) og (B, ≤ B ) være partielt ordnede mængder. En
bijektion ϕ : A −→ B kaldes en ordningsisomorfi, hvis det for alle x, y ∈ A
gælder, at
x ≤ A y ⇔ ϕ(x) ≤ B ϕ(y) (13.60)
To partielt ordnede mængder siges at være ordensisomorfe, hvis der findes
en ordningsisomorfi mellem dem.