Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

48 KAPITEL 5. INDUKTIONSBEVISER
Ifølge princippet om simpel induktion er sætningen dermed sand for alle
n ∈ N.
Vi vil nu generalisere det fundamentale primtalslemma 26:
Sætning 107 Det fundamentale primtalslemma: Hvis p er et primtal og
a 1 , a 2 , ..., a n er hele tal, så gælder
p | a 1 a 2 · · · a n ⇒ (p | a 1 ) ∨ (p | a 2 ) ∨ ... ∨ (p | a n ) . (5.15)
Bevis. Beviset føres ved induktion efter antal faktorer n.
1. Induktionsstarten: For n = 1 er sætningen triviel.
2. Induktionsskridtet: Antag at sætningen er sand for m faktorer, altså at
hvis a 1 , a 2 , ..., a m er vilkårlige hele tal så gælder
p | a 1 a 2 · · · a m ⇒ (p | a 1 ) ∨ (p | a 2 ) ∨ ... ∨ (p | a m ) . (5.16)
Vi skal da vise at sætningen er sand for m + 1 faktorer. Antag altså at
a 1 , a 2 , ..., a m+1 alle er hele tal. Vi skal da vise at
p | a 1 a 2 · · · a m+1 ⇒ (p | a 1 ) ∨ (p | a 2 ) ∨ ... ∨ (p | a m+1 ) . (5.17)
Antag derfor at p | a 1 a 2 · · · a m+1 eller hvad der er det samme
p | (a 1 a 2 · · · a m )a m+1 . (5.18)
Ifølge det fundamentale primtalslemma 26 ved vi så at (p | (a 1 a 2 · · · a m ))∨
(p | a m+1 ). Ved nu at bruge induktionsantagelsen (5.16) konkluderes at
(p | a 1 ) ∨ (p | a 2 ) ∨ ... ∨ (p | a m+1 ) hvorfor sætningen er sand for m + 1
faktorer.
Ifølge princippet om simpel induktion er sætningen dermed sand for alle
n ∈ N.
Nu vil vi vise entydighedsdelen af artimetikkens hovedsætning 30:
Sætning 108 Hvis p 1 , p 2 , · · · , p s og q 1 , q 2 , · · · , q t alle er primtal og
p 1 p 2 · · · p s = q 1 q 2 · · · q t , (5.19)
så er s = t, og efter en passende omordning af q’erne kan man opnå at p i = q i
for alle i = 1, 2, . . . , s.
Bevis. Beviset føres ved induktion efter s.
1. Induktionsstarten:For s = 1 er venstresiden af 5.19 det ene primtal p 1 .
Hvert af faktorerne q i på højresiden er derfor en faktor i p 1 og da p i kun
har trivielle faktorer og q i > 1 slutter vi at t = 1 og at p 1 = q 1 .