Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

11.4. TRÆER 163
Definition 480 En graf siges at være kredsløs, hvis den ikke indeholder en
ikke-triviel kreds.
En kredsløs graf kaldes også en skov.
En sammenhængende kredsløs graf kaldes et træ.
Figur 11.8: Træer og ikke-træer.
Bemærkning 481 Når en sammenhængende graf ikke indeholder nogen kreds
betyder det intuitivt, at den ikke indeholder flere kanter end der lige skal til
for at få den til at hænge sammen. Hvis grafen har n knuder skal der mindst
n − 1 kanter til at gøre den sammenhængende. Faktisk har et træ netop dette
minimale antal kanter. Mere præcist gælder følgende sætning:
Sætning 482 Lad G være en graf med n knuder. Da er følgende udsagn ækvivalente:
1. G er et træ, altså G er sammenhængende og kredsløs.
2. G er sammenhængende og har n − 1 kanter.
3. G er kredsløs og har n − 1 kanter
Til brug i beviset for denne sætning bevises først et par lemmaer:
Lemma 483 Et træ med mere end én knude har en knude med valens 1 (det
vi har kaldt et blad).
Bevis. Lad T være et træ med mere end én knude. Vælg en vilkårlig knude
v 1 . Da T er sammenhængende, er der en kant e 1 , som forbinder v 1 med en
anden knude v 2 . Hvis v 2 har valens 1 er vi færdige. Hvis ikke, er der en anden
kant e 2 ≠ e 1 , som forbinder v 2 med en tredie knude v 3 . Da der ikke findes en
kreds i G, må v 3 være forskellig fra v 1 og v 2 . Hvis v 3 har valens 1 er vi færdige.
Ellers fortsættes på denne måde. Da G ikke indeholder nogen kreds, leder
algoritmen hele tiden til nye knuder. Men da der kun er endeligt mange knuder
må processen stoppe ved en knude med valens 1.