Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

7.1. RELATIONER GENERELT 79
• transitiv, hvis (xRy) ∧ (yRz) ⇒ (xRz)
Eksempel 204 Lad os undersøge om eksemplerne i 199 er refleksive, symmetriske,
antisymmetriske og/eller transitive. Disse egenskaber er kun defineret
for relationer, hvor primærmængden er lig sekundærmængden, hvilket udelukker
eksempel 1 og 3.
Relationerne i eksempel 2 og 8 er refleksive, symmetriske og transitive.
Relationerne i eksempel 4, 6 og 7 er refleksive, antisymmetriske og transitive.
Relationen i eksempel 5 er refleksiv, symmetrisk, antisymmetrisk og transitiv.
Øvelse 205 Bevis at det forholder sig som påstået i eksempel 204. Det eneste
vanskelige tilfælde er relationen 8.
Eksempel 206 I geometri betyder = mellem linjestykker ikke at linjestykkerne
er identiske, men derimod at de er lige store. Denne lighedsrelation er transitiv.
Definition 207 Lad R være en relation mellem A og B, og lad A 1 ⊆ A. Da defineres
den til A 1 relaterede delmængde af B som mængden af de elementer
i B, som er relateret til et element i A 1 :
R(A 1 ) = {b ∈ B | ∃a ∈ A 1 : aRb} (7.1)
Hvis A 1 består af ét element A 1 = {a 1 }, skriver man R(a 1 ) i stedet for R({a 1 }) .
Øvelse 208 Bestem R(a) når R er relationerne i eksempel 199 og a er ”dig” i
1. og 2.; a er en retvinklet trekant med kateter 1 i 3.; a = 5 i 4.,5.,6. og 8.; og
a er de positive reelle tal som delmængde af U = R i 7.
Definition 209 Lad R være en relation mellem A og B. Da defineres relationen
R −1 mellem B og A ved
bR −1 a def
⇔ aRb. (7.2)
R −1 kaldes den inverse relation til R.
Øvelse 210 Bestem den inverse til relationerne i eksempel 199
Bemærkning 211 Lad R være en relation mellem A og B. Ifølge definition
207 og 209 har vi når B 1 ⊆ B at
R −1 (B 1 ) = { a ∈ A | ∃b ∈ B 1 : bR −1 a } = {a ∈ A | ∃b ∈ B 1 : aRb} (7.3)
Øvelse 212 Bestem R −1 (30) når R er relationen i eksempel 199 6, og R −1 ({1, 2, 3})
når R er relationen defineret i eksempel 199 7.
Vi skal i det følgende betragte to særligt vigtige slags relationer, nemlig
ækvivalensrelationer og ordningsrelationer. Ordningsrelationer betragtes i et
senere kapitel, medens ækvivalensrelationer behandles i dette kapitel. Men først
skal vi se på en god måde at visualisere relationer.