Diskrete Matematiske Metoder - Institut for Matematiske Fag ...

13.4. GRUPPEISOMORFIER 199
Sætning 617 Lad ϕ : (G, ⋆) −→ (H, ◦) være en isomorfi. Da gælder
ϕ(e G ) = e H , (13.53)
og for alle x ∈ G:
ϕ(x) = e H ⇒ x = e G (13.54)
ϕ(x −1 ) = (ϕ(x)) −1 . (13.55)
Bemærkning 618 I formuleringen af sætningen betyder e G og e H naturligvis
de neutrale elementer i henholdsvis (G, ⋆) og (H, ◦). Man skal være opmærksom
på, at vi har brugt samme notation for dannelsen af den inverse i de to grupper.
Bevis. (Sætning 617). For at vise at ϕ(e G ) = e H , skal vi vise, at ϕ(e G ) har
den definerende egenskab (13.3) altså at for alle y ∈ H gælder, at
y ◦ ϕ(e G ) = ϕ(e G ) ◦ y = y. (13.56)
Men da ϕ er bijektiv, findes der et x ∈ G, så ϕ(x) = y. Derfor kan vi fra (13.52)
slutte, at
y ◦ ϕ(e G ) = ϕ(x) ◦ ϕ(e G ) = ϕ(x ⋆ e G ) = ϕ(x) = y. (13.57)
På samme måde ses, at ϕ(e G ) ◦ y = y.
For at vise, at ϕ(x −1 ) = (ϕ(x)) −1 , skal vi vise, at ϕ(x −1 ) er den inverse af
ϕ(x). Der gælder, at
ϕ(x −1 ) ◦ ϕ(x) = ϕ(x −1 ⋆ x) = ϕ(e G ) = e H . (13.58)
På samme måde ses at ϕ(x) ◦ ϕ(x −1 ) = e H , hvorfor ϕ(x −1 ) er den inverse af
ϕ(x˙).
Sætning 619 Lad (G, ⋆), (H, ◦) og (J, ⊙) være grupper. Da gælder:
1. Hvis ϕ : (G, ⋆) −→ (H, ◦) og ψ : (H, ◦) −→ (J, ⊙) er isomorfier, da er
ψ ◦ ϕ : (G, ⋆) −→ (J, ⊙) en isomorfi.
2. Hvis (G, ⋆) er isomorf med (H, ◦) og (H, ◦) er isomorf med (J, ⊙), da er
(G, ⋆) isomorf med (J, ⊙).
Bevis. Overlades til læseren.
Eksempel 620 Der findes ingen isomorfi af (K, ◦) på (Z4, +).
Bevis. Beviset forløber indirekte. Antag derfor, at ϕ : (K, ◦) −→ (Z4, +) er
en isomorfi. Vælg et a ∈ (K, ◦), hvorom det gælder at a ≠ e (for eksempel det
element vi ovenfor kaldte a). Som vi bemærkede ovenfor er a ◦ a = e. Deraf fås,
at
ϕ(a) ◦ ϕ(a) = ϕ(a ◦ a) = ϕ(e) = [0]. (13.59)
Sidste lighedstegn kommer fra (13.53), idet [0] er det neutrale element i (Z4, +).
Men fra kompositionstavlen for (Z4, +) ses, at [0] og [2] er de eneste elementer